形式陈述

若 $X$ 有有限方差，则对 $t>0$，

$$\text{Pr}(|X-\mathbb{E}X|\ge t)\le \frac{\mathrm{Var}(X)}{t^2}.$$

它是对非负随机变量 $(X-\mathbb{E}X{)}^2$ 应用 Markov 不等式的直接结果。

直觉

方差小意味着概率质量不能频繁远离均值；平方同时处理了上下两个方向的偏差。

例子与边界

该界只使用二阶矩，往往不紧；没有有限方差时公式不提供有效信息。写成 $t=k\sigma$ 可得偏离 $k$ 个标准差的概率至多 $1/k^2$。

推论与应用

它给出弱大数定律的基础证明，并作为 Hoeffding、Bernstein 等指数集中界的基线。

参考资料

• Eric Lehman, F. Thomson Leighton, Albert R. Meyer, Mathematics for Computer Science (2018/2024), Chebyshev inequality.
• Joseph K. Blitzstein, Jessica Hwang, Introduction to Probability / Harvard Stat 110 (2019/2026 site), variance and concentration.