弱大数定律

弱形式逐个观察固定的大样本量：$n$ 越大，样本均值落在目标 $\mu$ 附近的概率越高。它不直接选出一个概率为一的路径集合，保证这些路径从某时刻起一直稳定；那是强大数定律理路强大数定律Law of large numbers · Strong law of large numbers · SLLN独立同分布且可积时，样本均值沿几乎每条无限样本路径收敛到共同期望。更强的量词。

方差有限时，独立涨落的方差相加，而除以 $n$ 的平均又带来 $n^{-2}$，最终留下 ${\sigma }^2/n$。这个计算解释了概率为何集中，却只提供保守的二次尾界，不是典型误差的完整分布。

独立抛公平硬币前 $n\ge 1$ 次的正面比例 ${\hat{p}}_n$ 满足

因此该界保证 $n\ge 250000$ 时偏离至少 $0.01$ 的概率不超过 $1\mathrm{\%}$。这是便于证明的保守上界，不是接近最优的样本量；Hoeffding 不等式理路Hoeffding 不等式Hoeffding's inequality独立有界随机变量和偏离期望的概率以平方偏差的指数速度衰减。会给出指数尾界；同样要求下，$2e^{-2n(0.01{)}^2}\le 0.01$ 只需 $n\ge \lceil \log \left(200\right)/0.0002\rceil =26492$。两个数都是相应不等式给出的充分样本量，并非精确最小样本量。

若 $X_1=X_2=\cdots$ 完全相关，则平均值始终等于同一个随机变量，方差不会按 $1/n$ 缩小。若样本服从 Cauchy 分布，期望与方差不存在，样本均值仍保持 Cauchy 分布。两种反例分别说明独立性与矩条件不是装饰。

弱大数定律为固定精度、固定样本量的 Monte Carlo 一致性提供基本入口。它只说明偏差概率趋零，不给正态误差条；中心极限定理理路中心极限定理Central limit theorem适当归一化的独立随机变量和在分布上趋于正态分布。描述 $\sqrt{n}$ 尺度的渐近分布，集中不等式则在额外尾部条件下给有限样本保证。

强大数定律的几乎必然收敛蕴含这里的依概率收敛；本页额外给出的 ${\sigma }^2/(n{\epsilon }^2)$ 定量界仍来自有限方差与 Chebyshev 计算。一般而言，依概率收敛不反推几乎必然收敛。证明弱形式时使用 Chebyshev，不表示强形式也能由同一条逐时刻概率界直接得到；要把逐时刻控制升级为整条路径控制，通常还需要可求和界、Borel–Cantelli 或更精细的截断论证。