形式陈述

若 $X\ge 0$ 且 $a>0$，则

$$\text{Pr}(X\ge a)\le \frac{\mathbb{E}[X]}{a}.$$

因为点态上 $X\ge a{\mathbf{1}}_{\{X\ge a\}}$，两边取期望即可。更一般地，可对非负单调函数 $\varphi (X)$ 应用同一思想。

直觉

若随机变量经常取得很大的值，它的平均值必然相应增大；反过来，小平均值限制了大值事件的概率。

例子与边界

只在 $0$ 与 $a$ 上取值的变量可达到等号。对可取负值的 $X$ 不能直接使用，应先考虑 $|X|$、$X_{+}$ 或其他非负量。

推论与应用

它是 Chebyshev、Chernoff 型界、概率收敛和随机算法粗尾界的共同起点。

参考资料

• Eric Lehman, F. Thomson Leighton, Albert R. Meyer, Mathematics for Computer Science (2018/2024), Markov inequality.
• Joseph K. Blitzstein, Jessica Hwang, Introduction to Probability / Harvard Stat 110 (2019/2026 site), tail bounds.