形式陈述

实随机变量 $X_n$$X_n$ 依分布收敛到 $X$$X$，记作 $X_n\xrightarrow{d}X$$X_n\stackrel{d}{\to }X$，若

$$ F_{X_n}(x)\to F_X(x) $$$$F_{X_n}(x)\to F_X(x)$$

在 $F_X$$F_X$ 的每个连续点 $x$$x$ 成立。更一般地，度量空间值随机变量的分布 $\mu_n$${\mu }_n$ 弱收敛到 $\mu$$\mu$，若对每个有界连续函数 $f$$f$，

$$ \int f\,d\mu_n\to\int f\,d\mu. $$$$\int fd{\mu }_n\to \int fd\mu .$$

依概率收敛蕴含依分布收敛；若 $X_n$$X_n$ 与常数 $c$$c$ 定义在同一概率空间且 $X_n\xrightarrow{d}c$$X_n\stackrel{d}{\to }c$，则还可推出 $X_n\xrightarrow{P}c$$X_n\stackrel{P}{\to }c$。

直觉

依分布收敛只比较输出分布的整体形状，不追踪同一样本上的误差，因此变量甚至可以定义在完全不同的概率空间。

例子与边界

中心极限定理给出标准化和依分布趋于正态。取 $X$$X$ 与 $Y$$Y$ 为独立同分布非退化变量，令所有 $X_n=Y$$X_n=Y$，则 $X_n\overset d=X$$X_n\stackrel{d}{=}X$，但在共同空间上通常不依概率趋于 $X$$X$。CDF 只需在极限 CDF 连续点收敛；在跳点强求收敛会排除正确的弱收敛序列。依分布收敛不自动推出矩收敛，需要统一可积性等额外条件。

推论与应用

该模式是中心极限定理、统计渐近分布、随机矩阵和弱逼近的核心语言；Portmanteau 定理提供闭集、开集和测试函数的多种等价刻画。

参考资料

• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995，Ch. 1, weak convergence and distribution functions。
• Rick Durrett, Probability: Theory and Examples, 5th ed., Cambridge University Press, 2019，Ch. 3, weak convergence and characteristic functions。