依分布收敛

这种收敛只看概率质量怎样重新排布，不要求在同一实验中逐点比较 $X_n$ 与 $X$。从测试函数角度看，它要求所有有界连续观察量的期望趋于相应极限，因此只保留分布层面的可观测信息。极限分布的跳点之所以被排除在 CDF 点态条件之外，是因为微小质量移动可以跨过跳点而不代表弱极限失败。

中心极限定理给出标准化和依分布趋于正态。取 $X$ 与 $Y$ 为独立同分布非退化变量，令所有 $X_n=Y$，则 $X_n\stackrel{d}{=}X$，但在共同空间上通常不依概率趋于 $X$。CDF 只需在极限 CDF 连续点收敛；在跳点强求收敛会排除正确的弱收敛序列。依分布收敛不自动推出矩收敛，需要统一可积性等额外条件。

若 $X_n\sim N(0,1+1/n)$，则其分布函数在每一点趋于标准正态分布公理库正态分布Normal distribution · Gaussian distribution · 高斯分布具有指数平方密度、在仿射变换与独立求和下封闭的概率分布族。函数，所以 $X_n\Rightarrow N(0,1)$，即便这些变量分别定义在不同概率空间。另一个边界是常数极限：当 $X_n\Rightarrow c$ 时，形式陈述中的尾概率结论成立；若这些变量本来就在共同空间上，便可直接写成依概率收敛。这是一般“依分布不推出依概率”的特殊例外，而不是把不同样本空间上的随机变量强行逐点配对。

分布函数公理库分布函数Cumulative distribution function · CDF实值分布在每个阈值左侧累积的概率，是非降右连续且端点极限为零和一的函数。给出一维刻画，序列收敛公理库序列收敛Convergence of a sequence序列项最终任意接近某个极限值。提供一般的极限语言，中心极限定理公理库中心极限定理Central limit theorem适当归一化的独立随机变量和在分布上趋于正态分布。则说明标准化和通常只在这一最弱模式下趋于正态。依概率收敛公理库依概率收敛Convergence in probability随机变量偏离极限超过任意正阈值的概率趋于零。会推出依分布收敛，反向通常不成立。统计量的渐近置信区间、delta method 与随机过程弱逼近都依靠“只需控制输出律”的灵活性。

渐近正态性公理库估计量的渐近正态性Asymptotic normality of estimators估计误差在明确中心、速率与协方差下趋于正态律，以及线性化、标准化和边界失效机制。是依分布收敛的一种中心化、缩放陈述；Slutsky 定理公理库Slutsky 定理Slutsky's theorem依分布收敛随机量与依概率收敛常量组合时，和、积与合法商保持相应分布极限。允许把未知尺度替换为依概率收敛的估计。它不意味着原估计量本身趋于正态密度，也不给有限样本尾概率精度；边界和非正则模型可有完全不同极限。

Portmanteau 定理进一步把这种收敛改写为对有界连续测试函数、闭集或开集的多种等价控制。随机矩阵和经验测度中，研究对象的维数可能不断改变，正因不必逐样本对齐，弱收敛仍能提供统一的渐近语言。