形式陈述

实值随机变量 $X$ 的分布函数为

$$F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x),x\in \mathbb{R}.$$

它非降、右连续，并满足

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(x)=0,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(x)=1.$$

反过来，任何满足这三类性质的函数都唯一确定一个实直线上的概率分布。跳跃大小

$$F_X(x)-F_X(x^{-})=\mathbb{P}(X=x)$$

给出在 $x$ 的原子质量。

直觉

CDF 从左向右累计概率，把整个实分布压缩成一个单调函数；其跳跃记录点质量，连续增长记录非原子部分。

例子与边界

Bernoulli 分布的 CDF 是阶梯函数；标准正态 CDF 连续且严格递增，却没有初等闭式。CDF 连续不代表存在密度，Cantor 分布提供连续奇异反例。使用 $\mathbb{P}(X<x)$ 会得到左连续版本，标准约定采用 $\le$ 从而右连续。多维分布函数仍能刻画分布，但单变量的简单跳跃与区间公式需改写。

推论与应用

CDF 用于分位数、随机数反演采样、依分布收敛和尾概率计算；区间概率由 $\mathbb{P}(a<X\le b)=F(b)-F(a)$ 得到。

参考资料

• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995，Ch. 2, distribution functions and their characterization。
• Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th ed., Pearson, 2019，Ch. 4, cumulative distribution functions。