概率密度函数

密度描述单位参考体积附近的概率强度。点或区间的概率要用密度对相应集合积分；短区间 $[x,x+h]$ 的概率在适当连续点附近约为 $f(x)h$。因此密度值可以大于一，点概率仍可以为零。

“相对于谁”是密度概念不可省略的一半。对离散空间取计数测度，密度就是概率质量函数；对实线取 Lebesgue 测度，密度具有长度倒数的量纲。改变坐标或参考测度会改变密度数值，但积分中的体积元同步变化，使事件概率保持不变。

若 $X\sim U[0,1/2]$，则

密度最大值为 $2$ 并不违反概率上界，因为整个支撑长度只有 $1/2$，总积分仍为一。令 $Y=2X$，对一一可微变换使用 Jacobian，

坐标拉伸使单位长度内的质量强度减半，概率质量没有改变。

若 $g$ 在相关区间严格单调、连续可微且 $g^{\prime }$ 不为零，一维变换 $Y=g(X)$ 满足

对多对一映射 $g$，必须把所有原像分支的贡献相加。只把 $x$ 替换成 $g^{-1}(y)$ 而漏掉 Jacobian，会破坏归一化，也会给出错误量纲。

离散分布对 Lebesgue 测度不绝对连续，所以没有普通实函数 PDF；Dirac delta 属于广义函数记号，不能充当 Lebesgue 可积密度。Cantor 分布每个单点质量为零，却仍没有 Lebesgue 密度。混合分布则可同时含原子、绝对连续和奇异部分，单个普通 PDF 无法承载全部概率。

即使两个密度在某一点取值不同，它们仍可能表示同一分布。比较不同参数下某个观测点的密度值可以形成似然，但该数值表示局部概率强度；连续观测恰好落在该点的概率通常始终为零。

若 $g$ 非负或可积，则

这只是分布积分在绝对连续情形下的坐标表示，期望仍由一般积分定义。若分布含原子，还应把原子质量对应的求和项一并加入，或直接对概率测度积分。

在多维空间中，变量变换由 Jacobian 行列式控制体积缩放。联合密度可以通过积分得到边缘密度；只有联合密度因子化为边缘密度乘积时，才可据此判断独立。两个边缘都有密度，并不保证联合分布对乘积 Lebesgue 测度有密度。

统计模型若被共同参考测度支配，就能把 $p_{\theta }(x)$ 在固定观测 $x$ 下看作似然函数。核密度估计则从样本估计未知的 $f$；估计得到的曲线是随机对象，其平滑偏差、抽样波动与真实分布是否存在密度是三个不同问题。