形式陈述

设参考测度 $\lambda$ 为 $\sigma$-有限测度，概率分布 $\mu$ 对 $\lambda$ 绝对连续，即 $\lambda (A)=0\Rightarrow \mu (A)=0$。由 Radon–Nikodym 定理，存在非负可测函数 $f=d\mu /d\lambda$，使

$$\mu (A)={\int }_{A}fd\lambda ,\int fd\lambda =1.$$

$f$ 称概率密度，并只在 $\lambda$-几乎处处意义下唯一。实直线上通常取 Lebesgue 测度；此时

$$F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dt,$$

且 $F^{\prime }=f$ 几乎处处。

直觉

密度不是“某点的概率”，而是相对于参考体积的局部概率率；真正概率要通过对集合积分获得。

例子与边界

均匀分布 $U[0,1]$ 的密度为区间指标函数。连续分布在单点的概率为零，即使密度值很大；密度也可超过一。离散分布对 Lebesgue 测度不绝对连续，因而没有普通 PDF；Dirac delta 不是 Lebesgue 可积函数密度。CDF 可连续但无密度，如 Cantor 分布。改变参考测度会改变密度，因此必须说明“相对于谁”。在密度不连续点，不能无条件声称 $F^{\prime }(x)=f(x)$。

推论与应用

密度用于期望积分、似然、变量变换、Bayes 推断和连续采样；Radon–Nikodym 形式统一离散、连续及混合模型的“相对密度”。

参考资料

• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995，Chs. 2–3, absolute continuity and densities of probability laws。
• Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1999，Ch. 3, Radon–Nikodym theorem and densities。