形式陈述

若 $\nu$ 与 $\mu$ 是同一可测空间上的 σ-有限正测度，且 $\nu \ll \mu$，则存在非负可测函数 $f$，使

$$\nu (A)={\int }_{A}fd\mu$$

对每个可测集 $A$ 成立；$f$ 在 $\mu$-几乎处处意义下唯一，记作 $d\nu /d\mu$。有符号测度有相应版本。

直觉

绝对连续只说质量不会躲在参考测度的零集上；定理进一步说明全部质量都可由逐点密度重建。

例子与边界

概率密度依赖所选参考测度。同一分布相对于 Lebesgue 测度、计数测度或其他测度可有不同密度。去掉适当 σ-有限性时结论可能失败。

推论与应用

它统一概率密度、条件期望、似然比、测度变换和重要性采样。

参考资料

• Sheldon Axler, Measure, Integration & Real Analysis (2020), Radon–Nikodym theorem.
• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed. (1999), Radon–Nikodym theorem.