Radon–Nikodym 定理

绝对连续性表面上只说“$\mu$ 看不见的地方，$\nu$ 也看不见”，并没有直接给出质量如何分配。Radon–Nikodym 定理把这条零集约束升级为一张局部倍率图：$f(x)$ 描述在 $x$ 附近用 $\mu$ 作底尺时，$\nu$ 的质量密度有多大；把倍率在任意集合上做Lebesgue 积分公理库Lebesgue 积分Lebesgue integral从简单函数积分出发，按单调逼近定义非负、扩展值与可积函数的积分。，便恢复该集合的全部 $\nu$-质量。

“局部倍率”不能理解成每个点的小球比值必有极限。一般可测空间甚至没有距离和小球，定理仍然成立；真正稳定的是对所有可测集同时成立的积分表示。也正因为积分忽略 $\mu$-零集，导数的唯一性只能到几乎处处为止。若应用需要一个逐点定义的版本，必须另行选择代表元，不能把这个选择误当成测度本身提供的数据。

参考测度决定密度的坐标。设 $\lambda$ 是 Lebesgue 测度，$d\nu =2xd\lambda$；若再令 $d\rho =(1+x)d\lambda$，那么同一测度相对于 $\rho$ 的密度是 $2x/(1+x)$。数值改变了，集合质量没有改变。这与向量换基相似：密度依赖坐标，测度才是内在对象。

在 $[0,1]$ 上定义

于是 $d\nu /dx=2x$，并且 $\nu ([0,1])=1$。若 $A=[0,\frac{1}{2}]$，积分给出 $\nu (A)=1/4$；同一公式对所有 Borel 集同时成立，而不只是对区间成立。相反，Dirac 测度 ${\delta }_0$ 把质量集中在 Lebesgue 零集 $\{0\}$ 上，所以 ${\delta }_0\ll ̸\lambda$，不存在相对于 Lebesgue 测度的普通函数密度。

σ-有限性不是装饰性的技术条件。令 $X=[0,1]$，$\mu$ 为 $X$ 上的计数测度，$\nu$ 为 Lebesgue 测度。计数测度在不可数集合上不是 σ-有限的，而且 $\nu \ll \mu$，因为唯一的 $\mu$-零集是空集。假如 $\nu (A)={\int }_{A}fd\mu$，对每个单点取 $A=\{x\}$ 都会迫使 $f(x)=0$；于是 $f$ 处处为零，却不能重建 $\nu ([0,1])=1$。这给出绝对连续但不存在密度的明确反例。

去掉合适的半有限或 σ-有限条件，唯一性也会崩溃。若在非空集合 $X$ 上定义 $\mu (A)=0$ 当 $A=\varnothing$，其余情形均为 $\mathrm{\infty }$，那么常数函数 $1$ 与 $2$ 对每个可测集都有相同积分：空集上为 $0$，非空集上为 $\mathrm{\infty }$。两者处处不同，却都表示 $\mu$ 相对于自身的“密度”。标准定理的假设正是为了排除这种参考测度无法用有限片辨别函数的退化情形。

若 $\rho \ll \nu \ll \mu$ 且相关测度满足标准 σ-有限条件，Radon–Nikodym 导数满足链式法则

证明只需把两次换测度公式依次代入，并用导数的几乎处处唯一性。若 $\mu$ 与 $\nu$ 相互绝对连续，则在相应非零集合上还有 $d\mu /d\nu =(d\nu /d\mu {)}^{-1}$。这些恒等式是重要性采样、Girsanov 型换测度和统计似然比的共同代数骨架；每次使用都必须说明支配关系以及导数在哪个测度的几乎处处意义下成立。

共同支配的统计模型用 $p_{\theta }=d{P}_{\theta }/d\mu$ 定义似然公理库似然函数Likelihood function固定可观测数据后，由共同支配密度定义、仅在参数间作相对比较的似然函数。。把支配测度从 $\mu$ 换成等价的 $\rho$ 时，$p_{\theta }$ 同时乘上与参数 $\theta$ 无关的因子 $d\mu /d\rho$，所以似然比不变。若模型族没有共同支配测度，统计实验仍然可以定义，但常规密度分解、score 与基于单一 $p_{\theta }$ 的计算不再自动合法。

条件期望则把定理用于一个子 σ-代数。对 $X\ge 0$，在 $\mathcal{G}\subseteq \mathrm{\Sigma }$ 上定义测度 ${\nu }_X(A)={\int }_{A}XdP$；它对 $P{|}_{\mathcal{G}}$ 绝对连续，因此

一般 $X\in L^1$ 再由正负部分得到。这个构造同时解释了条件期望公理库条件期望Conditional expectation给定子 σ-代数后可测、并在所有已知事件上保持原积分的随机变量。为何只在几乎处处意义下唯一，以及它为何满足对所有 $A\in \mathcal{G}$ 的积分匹配，而不是在每个样本点上执行普通条件概率除法。