形式陈述

同一可测空间上的测度 $\nu ,\mu$ 满足 $\nu \ll \mu$，若对每个可测集 $A$，

$$\mu (A)=0⟹\nu (A)=0.$$

若 $\mu \ll \nu$ 且 $\nu \ll \mu$，则二者等价，具有相同零集。这里的绝对连续不同于实函数的绝对连续。

直觉

参考测度完全看不见的集合，受它支配的测度也不能在那里放置质量。

例子与边界

若 $\nu (A)={\int }_{A}fd\mu$，则 $\nu \ll \mu$。Dirac 测度不对 Lebesgue 测度绝对连续，因为单点 Lebesgue 测度为零而 Dirac 质量为一。

推论与应用

它是 Radon–Nikodym 定理、概率密度、似然比和测度分解的直接前置。

参考资料

• Sheldon Axler, Measure, Integration & Real Analysis (2020), absolute continuity of measures.
• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed. (1999), signed measures.