拒绝采样

把 $Mq$ 看成盖住目标曲线 $\gamma$ 的屋顶：先按屋顶的水平投影选择位置，再在屋顶高度内均匀取一点；落在目标曲线下方才保留。提议访问过多的地方，目标与屋顶之比小，候选多被拒绝；目标相对高的地方更常通过。条件在“通过”这一事件上后，剩下的横坐标恰按目标面积分布。

拒绝不引入相关性，因为失败轮没有成为下一轮的状态。代价完全表现为随机运行时间。若屋顶在大部分区域远高于目标，算法仍然正确，只会把计算耗在丢弃候选上。

在 $a,b,c$ 上令 $\gamma =(1,3,6)$，所以 $Z=10$；取 $q=(0.2,0.3,0.5)$。三个比值 $\gamma /q$ 为 $(5,10,12)$，可取最紧常数 $M=12$，接受概率为 $10/12=5/6$。若第一轮抽到 $b$ 且 $U=0.60$，阈值为 $10/12\approx 0.833$，故接受 $b$。下一轮若抽到 $a$ 且 $U=0.50$，阈值为 $5/12\approx 0.417$，故拒绝。逐点的“提议概率乘接受率”是 $(1,3,6)/12$；归一化后正好得到目标 $(0.1,0.3,0.6)$。

若误取 $M=10$，状态 $c$ 的所谓接受概率变成 $1.2$。把它偷偷截成 $1$ 会使 $c$ 的保留质量从应有的 $6/10$ 降到 $q(c)=0.5$，结果不再是目标分布。包络必须在运行前由数学界或可验证的全局优化保证；只在若干网格点检查，不能证明连续空间上没有漏峰。

有限包络可能根本不存在。标准正态目标配一个方差 $1/4$ 的正态提议时，提议尾部衰减更快，$\gamma /q$ 随 $|x|$ 增大而无界。高维中即使每一维都有良好包络，独立乘积的整体接受率也会相乘；单维接受率 $0.8$ 在 $50$ 维变成 ${0.8}^{50}\approx 1.4\times {10}^{-5}$。这不是实现慢，而是包络几何随维数恶化。

拒绝采样把“精确分布”换成“可证明包络与随机成本”。当目标低维、对数凹或有自然重尾提议时，先构造紧包络再独立采样，能够提供检验其他近似算法的基准。若只能找到分片包络，可先按各片屋顶面积选片，再在片内执行同一条件化论证；正确性仍来自覆盖与面积比例，而非分片数量。

当 $Z/M$ 很小或比值无界时，继续微调循环通常没有意义。此时重要性采样保留所有候选并用权重承认失配，MCMC 则用相关轨道逐步进入目标区域；二者改变了误差与成本结构，不能再声称输出是固定成本下的 IID 精确样本。选择方法前应先问能否证明有限且足够紧的包络。