卡方分布

标准正态向量 $Z\in {\mathbb{R}}^{\nu }$ 的平方长度 $\Vert Z{\Vert }_2^2$ 就是卡方变量。自由度计算参与长度的独立正交方向数，而不是原始数据点的机械数量。关键是“标准化”与“独立”同时成立：方差不同的坐标先除以各自标准差；相关坐标则需用协方差矩阵白化，而不是逐项除标准差就算完成。拟合参数或施加线性约束会消耗方向，因此残差平方和的自由度常小于样本量。

卡方变量非负并右偏。自由度增加时，许多独立平方贡献相加，分布相对集中在均值 $\nu$ 周围，标准化 $(V-\nu )/\sqrt{2\nu }$ 渐近正态；有限小自由度下不能用对称图像代替它的长右尾。

若 $n\ge 2$，$X_1,\dots ,X_n$ 独立服从 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 且 $\sigma >0$，令

Cochran 定理给出

少掉的一维对应样本均值方向：残差向量满足 $\sum _i(X_i-\overline{X})=0$，只能在维数 $n-1$ 的正交子空间中变化。以 $n=2$ 为例，

两个残差虽然有两项，却恰好互为相反数，只剩一个独立方向。若总体均值 $\mu$ 已知而无需估计，改算 $\sum _i(X_i-\mu {)}^2/{\sigma }^2$ 就保留全部 $n$ 个方向，服从 ${\chi }_n^2$。

更一般地，若 $Z\sim N_n(0,I)$ 是联合正态向量理路多元正态分布Multivariate normal distribution · Multivariate Gaussian distribution · Jointly Gaussian vector以所有线性组合都正态刻画联合高斯向量，并由特征函数连接线性构造、退化支撑、全维密度与条件分布。，$P$ 是秩为 $r\ge 1$ 的正交投影矩阵，则

由有限维谱定理理路有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维复正规算子存在正交规范特征基；实数情形对应自伴算子。，选取正交矩阵把 $P$ 对角化为 $\mathrm{diag}(I_r,0)$ 后，二次型恰成为 $r$ 个独立标准正态平方和。正交变换后的向量仍联合正态且协方差为单位矩阵，因而这些坐标独立。这给出自由度等于投影秩的可追踪来源；若 $r=0$，二次型恒为零，应按退化点质量处理。

若每行有多个相关高斯坐标，并保留所有残差交叉乘积，标量平方和会扩展为Wishart 散布矩阵理路Wishart 分布Wishart distribution · Gaussian scatter distribution独立高斯向量的外积和给出随机散布矩阵，其秩、方向卡方和正交投影结构解释样本协方差的自由度。。正交行投影仍以其秩决定自由度，但矩阵各条目相互依赖，不能只用若干独立卡方变量替代。

边界与失败情形 ​

正态分量相关时，平方和一般不是简单卡方。若 $Z_1=Z_2=Z\sim N(0,1)$，则 $Z_1^2+Z_2^2=2Z^2$，其均值虽为 $2$，方差却为 $8$，不同于 ${\chi }_2^2$ 的方差 $4$。必须先白化并确认独立正交方向。

若 $Z\sim N_k(m,I_k)$ 且 $m\ne 0$，则 $\Vert Z{\Vert }^2$ 服从非中心卡方分布，非中心参数为 $\Vert m{\Vert }^2$。一般正定协方差须先白化，不能只凭均值非零就对原始平方长度使用该分布。把 $N(\mu ,1)$ 的平方仍写成 ${\chi }_1^2$ 会漏掉均值造成的右移。

非中心分布的统一构造理路非中心χ²、t与F分布Noncentral distributions · Noncentral chi-square distribution · Noncentral t distribution · Noncentral F distribution · 非中心卡方分布 · 非中心t分布 · 非中心F分布先移动正态均值再平方或除以独立随机尺度，统一得到非中心χ²、t和F，并用Poisson混合与条件积分计算备择下的功效。进一步把这项位移平方和表示成Poisson权重下的中心卡方混合：条件自由度为$k+2K$，其中$K\sim \mathrm{Poisson}(\Vert m{\Vert }^2/2)$。遗漏的混合质量直接控制CDF截断误差；若先作检验投影，非中心参数只计算被投影均值的平方长度，未参与检验的干扰方向不能计入。

“平方和近似卡方”也不是任意残差的普遍定律。精确结果依赖正态性与投影结构；广义线性模型中的 Pearson 统计量常只在样本量与单元期望充分大时渐近卡方，稀疏单元可使近似很差。

Gamma 分布的尺度与率参数容易混淆。这里尺度为 $2$；若使用率参数，应写为 $1/2$。自由度顺延到非整数时仍是合法 Gamma 分布，却不再能逐字解释为有限个正态平方项。

正态样本方差的精确置信区间通过卡方分位数反演：若 $q_{a,\nu }$ 是 ${\chi }_{\nu }^2$ 的 $a$ 分位数，则

卡方变量还是 Student $t$ 与 $F$ 分布的分母构件。卡方拟合优度检验理路卡方拟合优度检验Chi-square goodness-of-fit test · Pearson chi-square test比较分类观测计数与零模型期望计数，并用渐近卡方律校准偏差。、似然比检验和线性模型平方和也常出现卡方极限或精确分解，但每次都要区分有限样本定理与渐近近似。