Student t 分布

形式陈述 ​

设 $Z\sim N(0,1)$、$V\sim {\chi }_{\nu }^2$，且 $Z$ 与 $V$ 独立公理库独立性Statistical independence若干 σ-代数的任意有限事件选择都按概率乘积分解的性质。。随机变量

$$T=\frac{Z}{\sqrt{V/\nu }}$$

服从自由度 $\nu >0$ 的 Student $t$ 分布，记作 $T\sim t_{\nu }$。其密度为

$$f_{\nu }(t)=\frac{\mathrm{\Gamma }((\nu +1)/2)}{\sqrt{\nu \pi }\mathrm{\Gamma }(\nu /2)}{(1+\frac{t^2}{\nu })}^{-(\nu +1)/2},t\in \mathbb{R}.$$

密度关于零对称。均值在 $\nu >1$ 时存在且为零；方差在 $\nu >2$ 时为

$$\mathrm{Var}(T)=\frac{\nu }{\nu -2}.$$

当 $1<\nu \le 2$ 时均值存在而方差无穷；当 $0<\nu \le 1$ 时通常期望不存在。随 $\nu \to \mathrm{\infty }$，$V/\nu \to 1$，所以 $t_{\nu }$ 依分布收敛到 $N(0,1)$。

自由度为一时 $t_1$ 就是标准 Cauchy 分布，尾概率按多项式而非指数速度衰减，因而连均值都不存在。对一般 $\nu$，密度尾部量级为 $|t{|}^{-(\nu +1)}$；只有阶数小于 $\nu$ 的绝对矩存在。这给“重尾”一个可检验的矩边界，不应只凭图形中央比正态矮来描述。

直觉 ​

如果标准误的尺度已知，标准化均值是正态变量；当尺度必须由同一小样本估计时，分母会随机波动。偶尔偏小的分母把比值推向远尾，因此 $t$ 分布比标准正态更重尾。自由度越大，尺度估计越稳定，额外不确定性越小。

$t$ 分布的中心仍由对称标准正态分子决定。重尾不是“数据一定有异常值”，而是有限样本中估计方差所付出的精确校准代价。

例子与计算 ​

若 $X_1,\dots ,X_n$ 独立服从 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，其中 $\mu ,{\sigma }^2$ 未知，定义

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _i{X}_i,S^2=\frac{1}{n-1}\sum _i(X_i-\overline{X}{)}^2.$$

正态样本具有两个关键事实：

$$Z=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{\sigma }\sim N(0,1),V=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{n-1}^2,$$

并且 $Z$ 与 $V$ 独立。因此未知 $\sigma$ 消去后

$$\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{S}=\frac{Z}{\sqrt{V/(n-1)}}\sim t_{n-1}.$$

若 $n=10$、观察到 $\overline{x}=5.4$、$s=0.6$，检验 $H_0:\mu =5$ 的统计量为

$$t_{obs}=\frac{\sqrt{10}(5.4-5)}{0.6}\approx 2.108.$$

应与 $t_9$ 而非标准正态比较；双侧 $5\mathrm{\%}$ 临界值约 $2.262$，故不拒绝。若误用正态临界值 $1.96$，会改变有限样本决定。

同一数据的 $95\mathrm{\%}$ 均值区间为

$$5.4\pm 2.262\frac{0.6}{\sqrt{10}}\approx [4.971,5.829].$$

零假设值 $5$ 位于区间内，与双侧检验未拒绝完全一致；这是一族检验反演的结果，不是“区间中每个参数各有 $95\mathrm{\%}$ 后验概率”。

边界与失败情形 ​

独立性是定义的一部分。若把任意相关的正态分子和卡方分母组成比值，分布一般不是 $t$。正态样本均值与样本方差的独立性是特殊定理，不能从“不相关”或大样本直觉替代。

一元 $t$ 统计量的精确分布还依赖正态抽样。对偏斜或重尾总体，studentized 均值常在有限方差等条件下渐近正态，但小样本并不精确服从 $t_{n-1}$；异常值还会同时影响分子与样本标准差。

$t$ 分布不是所有“估计值除以标准误”的普遍精确分布。回归系数的 $t$ 检验需要线性模型、误差正态性与正确的方差结构；稳健标准误通常提供渐近校准，自由度处理另有规则。

配对样本应先形成配对差再做单样本 $t$ 推断。把同一对象前后测量当成两组独立样本，会丢掉协方差信息并使用错误的标准误。

推论与应用 ​

由枢轴量反演得到正态总体均值的精确置信区间

$$\overline{X}\pm t_{1-\alpha /2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}.$$

覆盖概率在所有 $\mu \in \mathbb{R},\sigma >0$ 上都恰为 $1-\alpha$，前提是独立正态模型成立。随着 $n$ 增大，$t$ 分位数趋近正态分位数，区间额外宽度逐渐消失。

若 $T\sim t_{\nu }$，则 $T^2\sim F_{1,\nu }$。这个关系把双侧 $t$ 检验连接到单自由度的 $F$ 检验，但平方会丢失效应方向。

参考资料

• George Casella and Roger L. Berger, Statistical Inference, 2nd ed., Duxbury, 2002，§5.3。
• William Gosset, “The Probable Error of a Mean,” Biometrika 6(1), 1908。
• Erich L. Lehmann and Joseph P. Romano, Testing Statistical Hypotheses, 3rd ed., Springer, 2005，关于正态均值检验的章节。