Student t 分布

如果标准误的尺度已知，标准化均值是正态变量；当尺度必须由同一小样本估计时，分母会随机波动。偶尔偏小的分母把比值推向远尾，因此 $t$ 分布比标准正态更重尾。自由度越大，尺度估计越稳定，额外不确定性越小。

$t$ 分布的中心仍由对称标准正态分子决定。重尾不是“数据一定有异常值”，而是有限样本中估计方差所付出的精确校准代价。

样本均值的分布从哪里来 ​

若 $n\ge 2$，$X_1,\dots ,X_n$ 独立服从 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，其中 $\mu$ 与 $\sigma >0$ 未知，定义

正态样本中的两个标准化量满足：

为什么恰好是 $n-1$ 个自由度？残差满足 $\sum _i(X_i-\overline{X})=0$，$n$ 个残差受到一个线性约束，只能沿 $n-1$ 个独立方向变化。更精确地，把标准化样本向量正交分解为全 $1$ 向量方向上的投影与其垂直方向上的残差：前一部分给出 $Z$，后一部分的平方长度给出 $V$。

由联合正态理路多元正态分布Multivariate normal distribution · Multivariate Gaussian distribution · Jointly Gaussian vector以所有线性组合都正态刻画联合高斯向量，并由特征函数连接线性构造、退化支撑、全维密度与条件分布。的正交分解，这两组坐标的分量独立，所以 $Z$ 与 $V$ 独立。这一步利用的是正态分布的结构，而不只是残差和为零。因此未知 $\sigma$ 消去后

同一批数据怎样决定检验和区间 ​

若 $n=10$、观察到 $\overline{x}=5.4$、$s=0.6$，检验 $H_0:\mu =5$ 的统计量为

应与 $t_9$ 而非标准正态比较；双侧 $5\mathrm{\%}$ 临界值约 $2.262$，故在这个显著性水平下不拒绝 $H_0$，并不是证明了 $\mu =5$。若误用正态临界值 $1.96$，会改变有限样本决定。

同一数据的 $95\mathrm{\%}$ 均值区间为

零假设值 $5$ 位于区间内，与双侧检验未拒绝完全一致。这是一族检验反演的结果；$95\mathrm{\%}$ 描述的是反复按同一规则抽样并构造区间时覆盖固定真均值的比例，在未指定先验分布时，不能把本次已算出的区间解读为“真均值有 $95\mathrm{\%}$ 的后验概率落在其中”。

边界与失败情形 ​

独立性是定义的一部分。若把任意相关的正态分子和卡方分母组成比值，分布一般不是 $t$。正态样本均值与样本方差的独立性是特殊定理，不能从“不相关”或大样本直觉替代。

一元 $t$ 统计量的精确分布还依赖正态抽样。对偏斜或重尾总体，studentized 均值常在有限方差等条件下渐近正态，但小样本并不精确服从 $t_{n-1}$；异常值还会同时影响分子与样本标准差。

$t$ 分布不是所有“估计值除以标准误”的普遍精确分布。回归系数的 $t$ 检验需要线性模型、误差正态性与正确的方差结构；稳健标准误通常提供渐近校准，自由度处理另有规则。

配对样本应先形成配对差再做单样本 $t$ 推断。把同一对象前后测量当成两组独立样本，会丢掉协方差信息并使用错误的标准误。

由枢轴量反演得到正态总体均值的精确置信区间理路置信区间Confidence interval · Confidence set以重复抽样覆盖率校准参数区间，并从正态枢轴与二项等尾检验反演算出有限样本端点。

覆盖概率在所有 $\mu \in \mathbb{R},\sigma >0$ 上都恰为 $1-\alpha$，前提是独立正态模型成立。为什么自由度增大后会接近正态？卡方变量满足 $\mathbb{E}(V/\nu )=1$、$\mathrm{Var}(V/\nu )=2/\nu$，由Chebyshev 不等式理路Chebyshev 不等式Chebyshev's inequality随机变量偏离均值至少给定距离的概率由方差除以距离平方控制。，$V/\nu$ 依概率趋于 $1$；再用Slutsky 定理理路Slutsky 定理Slutsky's theorem依分布收敛随机量与依概率收敛常量组合时，和、积与合法商保持相应分布极限。处理随机尺度，$T=Z/\sqrt{V/\nu }$ 便依分布趋于 $N(0,1)$。因此样本量增大后，$t$ 分位数逐渐接近正态分位数。

若 $T\sim t_{\nu }$，则它的平方服从F 分布理路F 分布F-distribution · Fisher–Snedecor distribution两个独立卡方变量分别除以自由度后所得比值的正值分布。，具体为 $T^2\sim F_{1,\nu }$。这个关系把双侧 $t$ 检验连接到单自由度的 $F$ 检验，但平方会丢失效应方向。

若在独立随机尺度之前移动正态分子，得到非中心t理路非中心χ²、t与F分布Noncentral distributions · Noncentral chi-square distribution · Noncentral t distribution · Noncentral F distribution · 非中心卡方分布 · 非中心t分布 · 非中心F分布先移动正态均值再平方或除以独立随机尺度，统一得到非中心χ²、t和F，并用Poisson混合与条件积分计算备择下的功效。：$(Z+\delta )/\sqrt{V/\nu }$。它一般不是中心t再加常数$\delta$；平方后才对应非中心参数为${\delta }^2$的F，因而丢掉方向。这一有符号接口既计算备择功效，也被正态上容忍限理路正态容忍区间与总体含量认证Normal tolerance interval · Normal tolerance limit · 正态容忍限 · 正态容限区间分清对样本的置信与对总体的含量，用非中心t构造精确单侧正态容忍限，并证明双侧保守因子和对称精确因子的积分刻画。用于总体含量的分位数反演。

Hotelling T² 检验理路Hotelling T² 检验Hotelling T-squared test · Hotelling T2 statistic用样本协方差逆度量均值向量偏离，并在独立正态样本下通过精确 F 分布统一校准全部方向。把随机尺度标准化扩展到均值向量与样本协方差逆。在独立正态、总体协方差正定且样本量大于维数时，它也有精确 F 校准，并同时控制全部线性方向；一维时才回到本页的 t 平方。