Student t 分布 | Codeboy's Blog

形式陈述

Student $t$ 分布是一族实值连续概率分布，由标准正态变量除以独立卡方变量所给出的随机尺度产生，自由度控制尾部厚度。

设 $Z$ 服从标准正态分布， $V$ 服从卡方分布 $\chi_\nu^2$ ，且 $Z$ 与 $V$ 独立。随机变量

T=\frac{Z}{\sqrt{V/\nu}}

服从自由度 $\nu>0$ 的 Student $t$ 分布，记作 $T\sim t_\nu$ 。其密度为

f_\nu(t)= \frac{\Gamma((\nu+1)/2)} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\nu/2)} \left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2}, \qquad t\in\mathbb R.

密度关于零对称。均值在 $\nu>1$ 时存在且为零；方差在 $\nu>2$ 时为

\operatorname{Var}(T)=\frac{\nu}{\nu-2}.

当 $1<\nu\le2$ 时均值存在而方差无穷；当 $0<\nu\le1$ 时通常期望不存在。随 $\nu\to\infty$ ， $V/\nu\to1$ ，所以 $t_\nu$ 依分布收敛到 $N(0,1)$ 。

自由度为一时 $t_1$ 就是标准 Cauchy 分布，尾概率按多项式而非指数速度衰减，因而连均值都不存在。对一般 $\nu$ ，密度尾部量级为 $|t|^{-(\nu+1)}$ ；只有阶数小于 $\nu$ 的绝对矩存在。这给“重尾”一个可检验的矩边界，不应只凭图形中央比正态矮来描述。

直觉

如果标准误的尺度已知，标准化均值是正态变量；当尺度必须由同一小样本估计时，分母会随机波动。偶尔偏小的分母把比值推向远尾，因此 $t$ 分布比标准正态更重尾。自由度越大，尺度估计越稳定，额外不确定性越小。

$t$ 分布的中心仍由对称标准正态分子决定。重尾不是“数据一定有异常值”，而是有限样本中估计方差所付出的精确校准代价。

例子与边界

若 $X_1,\ldots,X_n$ 独立服从 $N(\mu,\sigma^2)$ ，其中 $\mu,\sigma^2$ 未知，定义

\bar X=\frac1n\sum_iX_i, \qquad S^2=\frac1{n-1}\sum_i(X_i-\bar X)^2.

正态样本具有两个关键事实：

Z=\frac{\sqrt n(\bar X-\mu)}{\sigma}\sim N(0,1), \qquad V=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n-1}^2,

并且 $Z$ 与 $V$ 独立。因此未知 $\sigma$ 消去后

\frac{\sqrt n(\bar X-\mu)}{S} =\frac{Z}{\sqrt{V/(n-1)}} \sim t_{n-1}.

若 $n=10$ 、观察到 $\bar x=5.4$ 、 $s=0.6$ ，检验 $H_0:\mu=5$ 的统计量为

t_{obs}=\frac{\sqrt{10}(5.4-5)}{0.6}\approx2.108.

应与 $t_9$ 而非标准正态比较；双侧 $5\%$ 临界值约 $2.262$ ，故不拒绝。若误用正态临界值 $1.96$ ，会改变有限样本决定。

同一数据的 $95\%$ 均值区间为

5.4\pm2.262\frac{0.6}{\sqrt{10}} \approx[4.971,5.829].

零假设值 $5$ 位于区间内，与双侧检验未拒绝完全一致；这是一族检验反演的结果，不是“区间中每个参数各有 $95\%$ 后验概率”。

独立性是定义的一部分。若把任意相关的正态分子和卡方分母组成比值，分布一般不是 $t$ 。正态样本均值与样本方差的独立性是特殊定理，不能从“不相关”或大样本直觉替代。

一元 $t$ 统计量的精确分布还依赖正态抽样。对偏斜或重尾总体，studentized 均值常在有限方差等条件下渐近正态，但小样本并不精确服从 $t_{n-1}$ ；异常值还会同时影响分子与样本标准差。

$t$ 分布不是所有“估计值除以标准误”的普遍精确分布。回归系数的 $t$ 检验需要线性模型、误差正态性与正确的方差结构；稳健标准误通常提供渐近校准，自由度处理另有规则。

配对样本应先形成配对差再做单样本 $t$ 推断。把同一对象前后测量当成两组独立样本，会丢掉协方差信息并使用错误的标准误。

推论与应用

由枢轴量反演得到正态总体均值的精确置信区间

\bar X\pm t_{1-\alpha/2,n-1}\frac{S}{\sqrt n}.

覆盖概率在所有 $\mu\in\mathbb R,\sigma>0$ 上都恰为 $1-\alpha$ ，前提是独立正态模型成立。随着 $n$ 增大， $t$ 分位数趋近正态分位数，区间额外宽度逐渐消失。

若 $T\sim t_\nu$ ，则它的平方服从F 分布，具体为 $T^2\sim F_{1,\nu}$ 。这个关系把双侧 $t$ 检验连接到单自由度的 $F$ 检验，但平方会丢失效应方向。

参考资料

George Casella and Roger L. Berger, Statistical Inference, 2nd ed., Duxbury, 2002，§5.3。
William Gosset, “The Probable Error of a Mean,” Biometrika 6(1), 1908。
Erich L. Lehmann and Joseph P. Romano, Testing Statistical Hypotheses, 3rd ed., Springer, 2005，关于正态均值检验的章节。