随机向量

随机向量是一次实验的多路读数：同一个样本 $\omega$ 同时产生温度、压力或若干算法统计量。它首先是一个从样本空间到坐标空间的对象；把原样本概率推送到 ${\mathbb{R}}^d$ 后才得到联合分布。坐标如何一起变化属于后者记录的依赖结构，不属于“向量”这一定义本身。

令 $U$ 在 $[-1,1]$ 上均匀分布，并取 $X=(U,U^2)$。两个坐标都可测且有有限矩，因此这是合法随机向量；但第二个坐标完全由第一个决定，联合取值只落在抛物线 $x_2=x_1^2$ 上。该抛物线在平面 Lebesgue 测度下为零，所以 $X$ 没有二维概率密度。这同时否定了“随机向量必须有联合密度”和“有多个坐标便提供多个独立随机源”两种误解。

这个例子还区分了不相关与独立。由对称性 $\mathbb{E}U=\mathbb{E}{U}^3=0$，而 $\mathbb{E}{U}^2=1/3$、$\mathbb{E}{U}^4=1/5$，于是

两个坐标协方差为零，却满足 $X_2=X_1^2$。更直接地，事件 $A=\{|U|\le 1/2\}$ 与 $B=\{U^2\le 1/4\}$ 是同一事件，故 $\mathbb{P}(A\cap B)=1/2\ne \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)=1/4$。

有限维中的逐坐标判据不能不加说明地推广到任意无限维随机元素。若目标空间带乘积 $\sigma$-代数，坐标可测仍足够；但在函数空间、Banach 空间等目标上，Borel $\sigma$-代数可能需要比选定坐标族更多的信息，弱可测与强可测也可能分离。此时应先明确目标空间的拓扑和 $\sigma$-代数，再讨论整体可测性。

随机向量经推前产生联合分布理路联合分布Joint distribution · 联合概率分布多个随机元素组成的向量所推出的概率测度，完整记录边缘与依赖结构。，其坐标投影再给各边缘分布。协方差矩阵把二阶线性依赖压缩成一个半正定矩阵，并在主成分分析、最小二乘与多元正态模型中决定方向尺度；但零协方差一般不推出独立。对确定矩阵 $A$ 和向量 $b$，令 $Y=AX+b$，则有限二阶矩下

它说明投影、旋转和线性组合如何传播均值与方向方差。对可微变换 $Y=g(X)$，密度变换需要Jacobian理路Jacobian 矩阵Jacobian matrix多元映射各偏导数组成并表示其导数的矩阵。及可逆性等额外条件，而随机向量 $g(X)$ 本身只要 $g$ 可测就已定义。