随机向量

形式陈述 ​

在概率空间 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathbb{P})$ 上，$d$ 维随机向量是可测映射

$$X=(X_1,\dots ,X_d):(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})⟶({\mathbb{R}}^d,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^d)).$$

由于有限维 Borel $\sigma$-代数由坐标投影生成，$X$ 可测当且仅当每个坐标 $X_i$ 都是实值随机变量公理库随机变量Random variable · Random element从概率空间到可测空间的可测映射；实值情形是狭义随机变量。。若每个坐标可积，期望向量按坐标定义为 $\mathbb{E}X=(\mathbb{E}{X}_1,\dots ,\mathbb{E}{X}_d)$；若各坐标平方可积，协方差矩阵为

$${\mathrm{\Sigma }}_{ij}=\mathbb{E}[(X_i-\mathbb{E}{X}_i)(X_j-\mathbb{E}{X}_j)].$$

对任意 $a\in {\mathbb{R}}^d$，$a^{\mathrm{\top }}\mathrm{\Sigma }a=\mathrm{Var}(a^{\mathrm{\top }}X)\ge 0$，故 $\mathrm{\Sigma }$ 对称半正定。随机向量的定义只要求可测性，不要求坐标独立、存在密度或具有有限矩。

直觉 ​

随机向量是一次实验的多路读数：同一个样本 $\omega$ 同时产生温度、压力或若干算法统计量。它首先是一个从样本空间到坐标空间的对象；把原样本概率推送到 ${\mathbb{R}}^d$ 后才得到联合分布。坐标如何一起变化属于后者记录的依赖结构，不属于“向量”这一定义本身。

例子与边界 ​

令 $U$ 在 $[-1,1]$ 上均匀分布，并取 $X=(U,U^2)$。两个坐标都可测且有有限矩，因此这是合法随机向量；但第二个坐标完全由第一个决定，联合取值只落在抛物线 $x_2=x_1^2$ 上。该抛物线在平面 Lebesgue 测度下为零，所以 $X$ 没有二维概率密度。这同时否定了“随机向量必须有联合密度”和“有多个坐标便提供多个独立随机源”两种误解。

有限维中的逐坐标判据不能不加说明地推广到任意无限维随机元素。若目标空间带乘积 $\sigma$-代数，坐标可测仍足够；但在函数空间、Banach 空间等目标上，Borel $\sigma$-代数可能需要比选定坐标族更多的信息，弱可测与强可测也可能分离。此时应先明确目标空间的拓扑和 $\sigma$-代数，再讨论整体可测性。

推论与应用 ​

随机向量经推前产生联合分布公理库联合分布Joint distribution · 联合概率分布多个随机量的共同推出测度，记录边缘分布之外的同时出现与依赖信息。，其坐标投影再给各边缘分布。协方差矩阵把二阶线性依赖压缩成一个半正定矩阵，并在主成分分析、最小二乘与多元正态模型中决定方向尺度；但零协方差一般不推出独立。对可微变换 $Y=g(X)$，密度变换需要Jacobian公理库Jacobian 矩阵Jacobian matrix多元映射各偏导数组成并表示其导数的矩阵。及可逆性等额外条件，而随机向量 $g(X)$ 本身只要 $g$ 可测就已定义。

参考资料

• MIT OpenCourseWare, 18.05 Introduction to Probability and Statistics, readings on joint distributions and random vectors.
• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995, Chs. 4 and 7, random vectors and measurable mappings.