形式陈述

设 $f=(f_1,\ldots,f_m):U\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R^m$$f=(f_1,\dots ,f_m):U\subseteq {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 在 $a$$a$ 可微。关于标准基，导数线性映射 $Df(a)$$Df(a)$ 的矩阵为 Jacobian 矩阵

$$ J_f(a)=\left[\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\right]_{m\times n}. $$$$J_f(a)={[\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)]}_{m\times n}.$$

链式法则成为矩阵乘法 $J_{g\circ f}(a)=J_g(f(a))J_f(a)$$J_{g\circ f}(a)=J_g(f(a))J_f(a)$。当 $m=n$$m=n$ 时，$\det J_f(a)$$\det J_f(a)$ 称 Jacobian 行列式，描述局部有向体积的一阶缩放；它非零等价于导数可逆。

直觉

Jacobian 不是另一种导数，而是选定坐标后导数线性映射的矩阵表示。矩阵的行记录各输出分量的微分，列记录各输入坐标的影响。

例子与边界

极坐标映射 $F(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$$F(r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ 的 Jacobian 行列式为 $r$$r$，因此面积元变为 $r\,dr\,d\theta$$rdrd\theta$；在 $r=0$$r=0$ 处退化。对非方阵只有 Jacobian 矩阵，没有普通 Jacobian 行列式，可改用秩或 Gram 行列式。全部偏导存在时写出的矩阵未必真表示 Fréchet 导数；还需可微性。坐标变化会改变矩阵和行列式数值，但导数作为线性映射以及秩具有内在意义。

推论与应用

Jacobian 用于变量代换、灵敏度分析、自动微分、非线性方程、逆/隐函数定理和流形坐标变换。

参考资料

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 9, Jacobian matrices, chain rule, and rank。
• Michael Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, 1965，Ch. 2 and Ch. 3, derivatives and change of variables。