形式陈述

设 $U\subseteq\mathbb R^n$$U\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 开，$f:U\to\mathbb R^n$$f:U\to {\mathbb{R}}^n$ 为 $C^1$$C^1$ 映射，且 $Df(a)$$Df(a)$ 可逆。则存在含 $a$$a$ 的开邻域 $V$$V$ 与含 $f(a)$$f(a)$ 的开邻域 $W$$W$，使限制 $f|_V:V\to W$$f{|}_V:V\to W$ 是双射，其逆 $g$$g$ 为 $C^1$$C^1$，并且

$$ Dg(y)=\bigl(Df(g(y))\bigr)^{-1}. $$$$Dg(y)=(Df(g(y)){)}^{-1}.$$

若 $f$$f$ 为 $C^k$$C^k$ 或光滑，局部逆具有同样正则性。结论是局部的，不保证 $f$$f$ 在整个定义域单射或满射。

直觉

可逆导数说明函数在一点附近的一阶模型没有压扁任何方向。连续可微性保证这种非退化在小邻域内持续，从而真实非线性映射可像线性同构一样局部反解。

例子与边界

$f(x)=x^3+x$$f(x)=x^3+x$ 的导数处处正，因此每点都有局部逆，事实上它也全局可逆。复指数映射作为 $\mathbb R^2\to\mathbb R^2$${\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 在导数非退化处局部可逆，却因周期性不全局单射。条件 $\det Df(a)\ne0$$\det Df(a)\ne 0$ 是充分条件，不是局部可逆的纯拓扑必要条件：一元 $x\mapsto x^3$$x\mapsto x^3$ 在 $0$$0$ 有连续局部逆但导数为零，逆函数不在该点可微。只在一点可微而导数不连续不足以直接套用标准 $C^1$$C^1$ 版本。

推论与应用

逆函数定理建立局部坐标、证明非线性方程解的稳定性，并导出隐函数定理、流形图册和 Newton 法的局部分析。

参考资料

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 9, Theorem 9.24 and derivative of the local inverse。
• Michael Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, 1965，Ch. 2, inverse function theorem。