逆函数

倒查一个输出可能遇到两种障碍：找不到输入，或找到多个输入。满射排除第一种，单射排除第二种，所以双射恰好让倒查成为一个处处定义、单值的函数。

求逆时，可以按三个问题推进：给定任意目标 $b$，方程 $f(a)=b$ 是否有解；解是否唯一；所得规则是否对整个 $B$ 都给出 $A$ 中的元素。“把公式反解”只提供候选答案，两侧复合则逐一验收这些要求。

平方根和反三角函数尤其需要检查分支。若原来的多个输入共用一个输出，反解得到的多个候选不会自行变成一个函数；必须先限制原函数的定义域，才能谈该限制的逆。

直接验算两侧复合 ​

对 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，$f(x)=2x+1$，解 $y=2x+1$ 得候选 $g(y)=(y-1)/2$。验证

两式对所有实数成立，故 $g=f^{-1}$。例如输入 $3$ 先到 $7$，再由 $g$ 回到 $3$；任取目标 $7$ 也有合法原像。

平方函数 $f:\mathbb{R}\to [0,\mathrm{\infty })$ 配上 $g(y)=\sqrt{y}$ 时，仅有 $f(g(y))=y$，另一侧是 $g(f(x))=|x|$。输入 $-2$ 往返后变为 $2$，说明 $g$ 是右逆而非双侧逆。将平方函数的定义域也限制为 $[0,\mathrm{\infty })$ 后，才有真正的逆函数。

同理，$\tan :(-\pi /2,\pi /2)\to \mathbb{R}$ 的逆是 $\arctan$。在这个区间上，正切连续、严格递增，且两端分别趋于负无穷和正无穷，因此每个实数恰好命中一次。若把定义域扩大到所有正切有定义的实数，周期性 $\tan (x+\pi )=\tan x$ 使它不再单射，不能保留全局逆。

单侧逆及原像记号 ​

若 $g\circ f={\mathrm{id}}_A$，由 $f(a)=f(a^{\prime })$ 两边作用 $g$ 即得 $a=a^{\prime }$，所以有左逆必单射。若 $f\circ g={\mathrm{id}}_B$，则每个 $b$ 的原像可取 $g(b)$，所以有右逆必满射。反向构造左逆时，单射在像上已经规定了唯一返回值；若 $A\ne \varnothing$，可固定 $a_0\in A$，把 $B$ 中未命中的元素全送到 $a_0$。若 $A=\varnothing$ 而 $B\ne \varnothing$，就无法定义 $B\to A$，所以此时虽单射却没有左逆。

右逆的构造遇到的是另一种问题：满射的每条纤维虽非空，却可能有许多候选。具体公式可以给出选择规则，但“每个满射都有右逆”的全称断言等价于选择公理。

集合原像 $f^{-1}[S]=\{a\in A:f(a)\in S\}$ 对所有函数都可定义，不表示函数可逆。例如平方函数虽在实数上不可逆，却有 $f^{-1}[\{4\}]=\{-2,2\}$。函数逆值 $f^{-1}(b)$ 是一个元素，集合原像是一个集合，应按上下文区分。即使 $f$ 可逆，也应写 $f^{-1}[\{b\}]=\{f^{-1}(b)\}$，而不是省掉右边的集合括号。

双侧逆只能有一个。若 $g,h:B\to A$ 都是逆，则结合律给出

两个可逆步骤串联后，要按相反顺序撤销：若 $f:A\to B$、$g:B\to C$ 都可逆，则 $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$。坐标还原、同构及可逆算法都使用这个规律，但集合层面存在逆函数，不自动保证其逆可计算、连续或可微。

逆函数定理理路逆函数定理Inverse function theorem导数可逆的光滑映射在该点邻域内存在光滑局部逆。给出可微映射在适当导数条件下的局部可逆性；局部邻域上的逆不能未经证明便拼成一个覆盖全域的逆。群的可逆元素和范畴的同构则把上述两侧恒等式推广到其他复合系统。