形式陈述

若 $f:A\to B$$f:A\to B$ 为双射，其逆函数 $f^{-1}:B\to A$$f^{-1}:B\to A$ 由“$f^{-1}(b)$$f^{-1}(b)$ 是唯一满足 $f(a)=b$$f(a)=b$ 的 $a$$a$”定义，并满足

$$ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A,\qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. $$$$f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_A,f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_B.$$

双边逆若存在则唯一。

直觉

逆函数撤销原函数作用。单射保证反向查找至多一个答案，满射保证至少一个答案，两者合起来才得到处处定义的函数。

例子与边界

$f:\mathbb R\to\mathbb R,\ f(x)=2x+1$$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=2x+1$ 的逆为 $f^{-1}(y)=(y-1)/2$$f^{-1}(y)=(y-1)/2$。$x^2$$x^2$ 在 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 上无逆；限制到 $[0,\infty)$$[0,\mathrm{\infty })$ 并把陪域设为 $[0,\infty)$$[0,\mathrm{\infty })$ 后，逆为平方根。单侧逆不自动成为双侧逆。

推论与应用

逆函数用于坐标还原、同构和可逆算法。多元反函数定理给出局部可逆的微分条件，但不自动给出全局可逆性。

参考资料

• Paul R. Halmos, Naive Set Theory, 1960; Dover reprint 2017, §10。
• Daniel J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019, Functions chapter。