逆函数

逆函数撤销原函数作用。单射保证反向查找至多一个答案，满射保证至少一个答案，两者合起来才得到处处定义的函数。

逆函数不仅要撤销公式，还要在整个目标集合上单值存在。$f^{-1}$ 是函数当且仅当 $f$ 双射；它满足 $f^{-1}\circ f=\mathrm{id}$ 与 $f\circ f^{-1}=\mathrm{id}$。只满足一侧分别得到左逆或右逆，对应单射或满射，而不必是真正双侧逆。

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=2x+1$ 的逆为 $f^{-1}(y)=(y-1)/2$。$x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上无逆；限制到 $[0,\mathrm{\infty })$ 并把陪域设为 $[0,\mathrm{\infty })$ 后，逆为平方根。单侧逆不自动成为双侧逆。

函数

是双射，逆函数为 $\arctan$。若把同一公式的定义域扩大到整个 $\mathbb{R}\setminus \{\pi /2+k\pi \}$，周期性使它不再单射，因而不存在全局逆函数。还要区分 $f^{-1}(B)$ 表示集合原像与 $f^{-1}$ 表示逆函数：前者对任意函数都有定义，后者要求 $f$ 双射。

逆函数用于坐标还原、同构和可逆算法。多元反函数定理给出局部可逆的微分条件，但不自动给出全局可逆性。

双射公理库双射Bijective function · One-to-one correspondence同时为单射和满射的函数。精确刻画可逆函数，函数复合公理库函数复合Function composition · Composition of maps按先 f 后 g 的次序把映射串联为 g∘f。给出逆的两侧方程。局部微积分中的逆函数定理公理库逆函数定理Inverse function theorem导数可逆的光滑映射在该点邻域内存在光滑局部逆。、群中可逆元素和范畴中的同构都推广同一“可双向撤销”结构。