形式陈述

若 $f:A\to B$、$g:B\to C$，定义复合函数 $g\circ f:A\to C$ 为

$$(g\circ f)(a)=g(f(a)).$$

复合满足结合律，并以恒等映射 ${\mathrm{id}}_A$ 为单位元。

直觉

复合把两个处理步骤串联：先执行右侧的 $f$，再执行左侧的 $g$。类型必须对齐，这比公式能否机械代入更根本。

例子与边界

若 $f(x)=x+1$、$g(x)=x^2$，则 $(g\circ f)(x)=(x+1{)}^2$，而 $(f\circ g)(x)=x^2+1$；复合一般不交换。

推论与应用

算法流水线、坐标变换、范畴中的态射和多元链式法则都以函数复合为核心。双射的逆函数由复合得到恒等映射来刻画。

参考资料

• Paul R. Halmos, Naive Set Theory, 1960; Dover reprint 2017, §10。
• Daniel J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019, Functions chapter。