函数复合 | Codeboy's Blog

形式陈述

若

f:A\to B,\qquad g:B\to C,

则复合函数

g\circ f:A\to C

定义为

(g\circ f)(a)=g(f(a)).

更一般地，只要 $f(A)$ 落在 $g$ 的定义域内就可逐点复合；在本库的有类型函数约定下，通常直接要求 $f$ 的陪域与 $g$ 的定义域匹配。

复合满足结合律。若

f:A\to B,\quad g:B\to C,\quad h:C\to D,

则对每个 $a\in A$ ，

((h\circ g)\circ f)(a) =h(g(f(a))) =(h\circ(g\circ f))(a).

因此可无歧义写成 $h\circ g\circ f$ 。恒等函数满足

\operatorname{id}_B\circ f=f, \qquad f\circ\operatorname{id}_A=f.

书写顺序与执行顺序相反： $g\circ f$ 表示先用 $f$ ，再用 $g$ 。

直觉

函数复合是“把输出接到下一步输入”的类型安全流水线。能否复合先由定义域与陪域决定，而不是由公式看起来能否代入决定。

结合律说明多阶段过程可以改变括号而不改变结果；它不说明顺序可以交换。交换两个阶段往往改变类型，甚至让表达式失去定义。

例子与边界

令

f(x)=x+1,\qquad g(x)=x^2.

则

(g\circ f)(x)=(x+1)^2, \qquad (f\circ g)(x)=x^2+1,

所以复合一般不交换。

令 $f:\mathbb R\to[0,\infty)$ 为 $f(x)=x^2$ ， $g:[0,\infty)\to[0,\infty)$ 为 $g(y)=\sqrt y$ 。则

g\circ f=|\cdot|, \qquad f\circ g=\operatorname{id}_{[0,\infty)}.

因此 $g$ 是 $f$ 的右逆，却不是左逆；一侧复合得到恒等函数不自动推出双射。

若 $f:A\to B$ 、 $g:C\to D$ 且 $B\ne C$ ，不能只因某些 $f(a)$ 偶然属于 $C$ 就把 $g\circ f$ 当成总函数 $A\to D$ 。应缩小定义域、修改陪域或显式证明 $f(A)\subseteq C$ 。

部分函数的复合还要追踪定义域：

\operatorname{dom}(g\circ f) = \{a\in\operatorname{dom}(f):f(a)\in\operatorname{dom}(g)\}.

不能沿用总函数公式而忽略未定义输入。

推论与应用

函数在复合下形成范畴的基本范例；恒等映射是单位元，结合律是范畴公理。逆函数由

f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A,\qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B

共同刻画。

坐标变换、线性映射、群同态、状态转移、概率核和程序管道都继承同一复合结构。链式法则、函子保复合和语义组合性，都是“局部步骤如何沿复合传播”的进一步结论。

参考资料

Paul R. Halmos, Naive Set Theory, Dover, 2017, §10.
Daniel J. Velleman, How to Prove It, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019, Chapter 4.
Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd ed., Springer, 1998, Chapter I.