链映射

链复形不仅是一串对象，还把“取边界”指定为结构。链映射必须保留这项结构：先把一条链送到目标复形再取边界，与先在源复形取边界再映射，结果相同。因此循环会被送到循环，边界会被送到边界；只有这样，映射才能下降到“循环模边界”的同调商上。

逐次给出同态只是画出了竖直箭头，交换条件才说明这些箭头属于同一个几何或代数变换。它与群同态必须保持乘法、线性映射必须保持加法的角色相同。

考虑集中在次数 $1,0$ 的两个整数链复形

取 $f_1={\mathrm{id}}_{\mathbb{Z}}$、$f_0=\times 3$。唯一需要检查的方块满足

所以 $f:C\to D$ 是链映射。两个复形的一次同调均为零，零次同调分别为 $\mathbb{Z}/2$ 与 $\mathbb{Z}/6$；诱导映射为

它良定义，因为把 $x$ 改成 $x+2k$ 会把像改变 $6k$。这个商上的良定义性正是交换方块在具体计算中的作用。

若错误地取 $f_1=f_0=\mathrm{id}$，则方块两条路径分别给出乘 $6$ 与乘 $2$，不相等。虽然每一度的映射都是合法群同态，它们并不组成链映射，也不能给出 $\mathbb{Z}/2\to \mathbb{Z}/6$ 的“取同一代表元”映射：$[0{]}_2=[2{]}_2$，但 $[0{]}_6\ne [2{]}_6$。

链映射不要求每个 $f_n$ 为单射、满射或同构。即便诱导所有同调同构的拟同构，通常也没有逐次逆，更未必有链同伦逆；把这三种强度混为一谈会掩盖复形中的扩张信息。

交换条件也必须覆盖每一个次数，不能只在非零对象处凭图形猜测。对无界复形，遗漏远端一个方块就可能使“诱导同调映射”的良定义性在该次数失败；对带符号的总复形，微分中的符号约定还会进入交换式。可靠做法是先写清每个分量的源、靶和次数，再核对两条复合确实具有相同类型。

若 $z\in C_n$ 是循环，则 $d_{D}f(z)=f(d_{C}z)=0$；若 $z=d_{C}x$ 是边界，则 $f(z)=d_{D}f(x)$ 仍为边界。因此链映射诱导同调态射

恒等与复合保持，故 $H_n$ 是从链复形范畴到 Abel 群或相应 Abel 范畴的函子。链同伦会进一步刻画哪些链映射诱导同一个同调态射；短正合链复形之间的链映射则形成交换图，并由蛇引理产生自然的连接同态。

若 $0\to A_{\bullet }\to B_{\bullet }\to C_{\bullet }\to 0$ 逐次短正合，一个三元组链映射给出两层交换图。连接同态的自然性正是说先沿链映射移动再连接，与先连接再移动相同。这里“逐次正合”和“与微分交换”缺一不可：前者提供提升，后者保证提升后取边界落在正确的核中。

在拓扑中，连续映射通过对奇异单形逐点复合产生链映射；在投射或内射分解中，一个模同态需要提升为分解之间的链映射。后者的提升通常不唯一，但比较定理保证不同选择链同伦，从而导出函子不依赖任意选择。