链映射

在几何链复形中，可以把 $f$ 想成搬动顶点、边和面的同一次操作。搬动一条有向边后，它的起点和终点应当正好是原起点和终点的像；搬动一个面后，其边界也应由原边界映过去。链映射的交换式把这种跨次数的相容性写成代数条件。

对于模的链复形，这个条件保证循环被送到循环、边界被送到边界。因此同一同调类的不同代表元经过映射后，仍代表同一个同调类，链级操作就能传到同调上。

考虑集中在次数 $1,0$ 的两个整数链复形

取 $f_1={\mathrm{id}}_{\mathbb{Z}}$、$f_0=\times 3$。唯一需要检查的方块满足

所以 $f:C\to D$ 是链映射。两个复形的一次同调均为零，零次同调分别为 $\mathbb{Z}/2$ 与 $\mathbb{Z}/6$；诱导映射为

它良定义，因为把 $x$ 改成 $x+2k$ 会把像改变 $6k$。这个商上的良定义性正是交换方块在具体计算中的作用。

若错误地取 $f_1=f_0=\mathrm{id}$，则方块两条路径分别给出乘 $6$ 与乘 $2$，不相等。虽然每一度的映射都是合法群同态，它们并不组成链映射，也不能给出 $\mathbb{Z}/2\to \mathbb{Z}/6$ 的“取同一代表元”映射：$[0{]}_2=[2{]}_2$，但 $[0{]}_6\ne [2{]}_6$。

若一个链映射在所有次数诱导同调同构，就称为拟同构。例如将 $C$ 映到仅在次数 $0$ 为 $\mathbb{Z}/2$ 的复形，零次映射取模 $2$ 投影，一次映射取零，就得到拟同构：两边的一次同调都为零，零次同调映射为恒等。它却没有链同伦逆，因为从 $\mathbb{Z}/2$ 到 $C_0=\mathbb{Z}$ 的群同态只能为零，无法在零次同调上给出逆映射。

在模范畴中，若 $z\in C_n$ 是循环，则 $d_{D}f(z)=f(d_{C}z)=0$；若 $z=d_{C}x$ 是边界，则 $f(z)=d_{D}f(x)$ 仍为边界。因此链映射诱导同调理路链复形的同调Homology of a chain complex · Homology object以每次边界算子的核模去前一次边界算子的像所得的正合缺陷。态射

这个赋值保持恒等与复合，故 $H_n$ 是函子；在一般 Abel 范畴中，同样可用核与余核构造它。链同伦的两个映射诱导相同的同调态射。

对于两个短正合链复形列，若三个对应位置之间的链映射组成交换图，就会诱导两条同调长正合列之间的态射。连接同态的自然性表示：先沿链映射移动再连接，与先连接再移动相同。它让不同短正合列的同调计算能够相互比较。

在拓扑中，连续映射通过对奇异单形逐点复合产生链映射；在投射或内射分解中，一个模同态需要提升为分解之间的链映射。后者的提升通常不唯一，但比较定理保证不同选择链同伦，从而导出函子不依赖任意选择。