链复形的同调 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $C_\bullet=(C_n,d_n)$ 是模范畴中的链复形。由 $d_nd_{n+1}=0$ 得

\operatorname{im}d_{n+1}\subseteq\ker d_n.

称

Z_n(C)=\ker d_n, \qquad B_n(C)=\operatorname{im}d_{n+1}

为 $n$ 次循环模与边界模，并定义 $n$ 次同调为商模

H_n(C)=Z_n(C)/B_n(C) =\ker d_n/\operatorname{im}d_{n+1}.

这里的核与像分别位于同一个对象 $C_n$ 中；商掉边界后，一个同调类 $[z]$ 记录无法写成更高一次链之边界的循环。

在一般 Abel 范畴中不能逐元素取商，而定义为边界到循环之单态射的余核：

H_n(C)=\operatorname{coker}\bigl(B_n(C)\hookrightarrow Z_n(C)\bigr).

若 $f:C\to D$ 是链映射，交换条件使 $f_n$ 把循环送到循环、边界送到边界，于是诱导

H_n(f):H_n(C)\to H_n(D),\qquad[z]\mapsto[f_n(z)].

这个赋值保持恒等与复合，所以每个 $H_n$ 都是函子。

直觉

$d^2=0$ 只保证每个边界都是循环，却没有保证每个循环都能被填充。同调正好测量二者的间隙：循环是“局部没有边界”的候选，边界是“确实来自高一维对象”的平凡候选；商模把后者视为零。

因此同调不是简单数出核有多大。一个庞大的核若全部由前一映射的像解释，同调仍为零；一个很小的核若留下一条无法填充的方向，也会产生非零同调。正合性就是这个缺口在相应次数完全关闭。

同调还把复形压缩成对结构保持映射稳定的摘要。它有意忘掉循环的具体代表元，只保留代表元相差一个边界时不变的信息；因此适合比较由不同剖分、不同基或不同分解产生的复形。不过这种压缩会丢失链级扩张和同伦数据，所以同调相同并不表示两个复形已经等价。

例子与边界

对整数 $m\ne0$ ，考虑二项复形

C:\quad0\longrightarrow\mathbb Z \xrightarrow{\times m}\mathbb Z\longrightarrow0,

其中两个非零项位于次数 $1,0$ 。乘 $m$ 在 $\mathbb Z$ 上单射，所以

H_1(C)=\ker(\times m)=0.

在次数 $0$ ，微分为零，故 $Z_0=\mathbb Z$ ，而 $B_0=m\mathbb Z$ ，从而

H_0(C)=\mathbb Z/m\mathbb Z.

若把 $m$ 改为 $0$ ，同一个形状得到 $H_1\cong\mathbb Z$ 且 $H_0\cong\mathbb Z$ 。变化来自实际边界算子，而不是链群本身。

再取三项复形

0\to\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z \xrightarrow{q}\mathbb Z/2\mathbb Z\to0.

因为 $\ker q=2\mathbb Z=\operatorname{im}(\times2)$ ，且两端也正合，它的所有同调为零。然而该复形不可缩；无同调只说明处处正合，不提供分裂或收缩同伦。

若工作范畴只有态射加法而缺少核、像或商对象，公式 $\ker d/\operatorname{im}d$ 可能根本没有对象可表示。预加性足以写 $d^2=0$ ，却不足以保证同调存在；Abel 范畴假设正是为此补齐对象级结构。

推论与应用

$H_n(C)=0$ 当且仅当复形在 $C_n$ 处正合。因而一个复形无同调，也称无环，等价于它处处正合。链同伦的映射诱导同一个同调态射，链同伦等价则诱导同调同构；反命题一般不成立。

短正合链复形会产生同调长正合列。连接态射把商中“无法直接提升”的循环缺陷送到低一次的核中，其定义和正合性由蛇引理控制。投射分解与内射分解本身在增广位置正合，对它们施加非正合函子后出现的同调，正是导出函子量化原函子破坏正合性的方式。

参考资料

Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，§1.1。
Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009，Ch. 6, §6.1。
Peter J. Hilton and Urs Stammbach, A Course in Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 1997，Ch. IV, §1。