链复形的同调

在几何图像中，循环已经闭合，边界则还能够由高一维的链填充。例如三角形的三条边首尾相接，构成循环；若复形中还放入整个三角形的面，这个循环就成为该面的边界。同调将能这样填充的循环视为零。

计算时要先取核，再取商。核找出全部循环，上一边界映射的像找出其中应当视为零的部分；即使循环很多，只要它们全是边界，同调仍为零。这恰好就是该次数的正合性。

同调保留的还包括类之间的加法与标量作用。例如一个非零类可能加若干次后变为零，这种挠信息就无法单靠“洞有几个”来表达。不同剖分或分解产生的复形，可以通过链映射及其诱导的同调映射进行比较。

对整数 $m\ne 0$，考虑二项复形

其中两个非零项位于次数 $1,0$。乘 $m$ 在 $\mathbb{Z}$ 上单射，所以

在次数 $0$，微分为零，故 $Z_0=\mathbb{Z}$，而 $B_0=m\mathbb{Z}$，从而

若把 $m$ 改为 $0$，同一个形状得到 $H_1\cong \mathbb{Z}$ 且 $H_0\cong \mathbb{Z}$。变化来自实际边界算子，而不是链群本身。

再取三项复形

因为 $\ker q=2\mathbb{Z}=\mathrm{im}(\times 2)$，且两端也正合，它的所有同调为零。不过它不与零复形链同伦等价理路链同伦Chain homotopy用升高一次数的态射族见证两个链映射之差沿边界方向可消去的关系。：若恒等映射可收缩到零，在最右非零项的同伦公式就会给出 $q$ 的同态截面；这样的截面需要将 $[1{]}_2$ 送到一个阶为 $2$ 的非零整数，因而不存在。

同调对象还依赖所选范畴。上面的二项复形可以完全由自由整数模组成，但其同调 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ 在 $|m|>1$ 时不是自由模。因此若只在自由整数模范畴内工作，同调可能落到范畴之外；在全部整数模组成的 Abel 范畴中，所需的核、像和商都存在。

所有次数的同调都为零的复形称为无环复形，也就是在每处都满足正合性理路正合列Exact sequence相邻同态满足前一映像等于后一核的一列模与同态。的复形。一个链映射若在每个次数诱导同调同构，则称为拟同构；这提供了比较两个复形所携带同调信息的方式。

短正合链复形会产生同调长正合列。将商复形中的循环提升到中间复形后，再取边界，结果来自左侧复形；它在低一次同调中的类就是连接同态的值。原循环虽然总能逐元素提升，但能否提升成循环，要由这个同调类判断。

投射分解与内射分解的增广序列原本正合。对它们施加函子后，正合性可能改变；所得高次同调或上同调，就是导出函子记录的量。例如张量积对投射分解产生的高次同调给出 Tor。

结补空间的无限循环覆盖给出带有移层作用的一阶同调模。Seifert 矩阵与 Alexander 多项式理路Alexander 多项式与 Seifert 矩阵Alexander polynomial · Seifert matrix由 Seifert 曲面上的推离环绕数构造矩阵，解释行列式的不变量来源，并完成三叶结多项式与亏格下界计算。用 $V-t{V}^{\mathsf{T}}$ 呈示这个模，再由行列式得到只确定到 $\pm t^m$ 的不变量；其中 $t$ 记录覆盖的层次移动，不能当作普通整数同调中的额外常数。