子模

子模是对加法、逆元和所有标量操作都封闭的稳定部分；生成子模则收集从给定元素经有限线性组合能到达的一切。

子模是在模内部对加法、加法逆元和环标量作用封闭的子集。它是线性子空间的环上推广，但一般不一定有补子模，也不一定由基的一部分张成。子模的交保持子模，和由有限和生成；并集与向量空间情形一样通常失败。

$\mathbb{Z}$ 作为自身的模，其子模恰为理想 $n\mathbb{Z}$。向量空间的子模就是线性子空间。$2\mathbb{Z}$ 与 $3\mathbb{Z}$ 的并不是子模，因为 $2,3$ 在并中而 $5$ 不在；其和为 $\mathbb{Z}$，交为 $6\mathbb{Z}$。非空且对标量乘封闭不足以成为子模，还需对加法和负元封闭。生成表达只允许有限和，即使 $S$ 无限也不引入无限级数。有限生成模是存在有限 $S$ 使 $M=⟨S⟩$，不表示其子模自动有限生成；后者需要 Noether 条件。

在 $\mathbb{Z}$-模 ${\mathbb{Z}}^2$ 中取

它是同态 $\phi (a,b)=a+b(\mathrm{mod}2)$ 的核，因而是子模，并且

它可由 $(1,1)$ 与 $(0,2)$ 生成，却不能由单个向量生成；这里的子模仍有秩二，但在母模中指数为二。作为边界，仿射集合 $\{(a,b):a+b=1\}$ 不含零向量，既不是子模，也不可能成为同态的核。模的标量环是结构的一部分：同一集合在换环后是否封闭、需要多少生成元，都可能改变。

子模是商模、核像、有限生成性和模分解的基本单位；交与和形成格结构，并在同调代数中充当子对象。

子模是 模结构公理库模Module以含幺环元素作标量、以阿贝尔群作加法结构的代数对象。中稳定于全部线性运算的子对象。模同态公理库模同态Module homomorphism同时保持加法与标量乘法的模之间映射。的核与像天然是子模，而 商模公理库商模Quotient module按子模诱导的陪集等价关系取商并继承模运算的结构。也只有对真正的子模才具有良定义；因此同构定理、正合列和同调构造都以子模为基本接口。子模升链是否稳定还导向 Noether 条件，并控制有限生成模的分解与算法可终止性。