形式陈述

左 $R$-模 $M$ 的子集 $N\subseteq M$ 称为子模，若它在加法下为子群且对标量作用封闭；等价地，$N\ne \varnothing$ 且对任意 $x,y\in N$、$r,s\in R$ 有

$$rx+sy\in N.$$

任意子模族的交仍为子模。子集 $S\subseteq M$ 生成的子模

$$⟨S{⟩}_R=\{\sum _{i=1}^n{r}_i{s}_i:n<\mathrm{\infty },r_i\in R,s_i\in S\}$$

是包含 $S$ 的最小子模。两个子模的和 $N+P=\{n+p\}$ 是最小同时包含它们的子模；并集通常不是子模，除非一者包含另一者。

直觉

子模是对加法、逆元和所有标量操作都封闭的稳定部分；生成子模则收集从给定元素经有限线性组合能到达的一切。

例子与边界

$\mathbb{Z}$ 作为自身的模，其子模恰为理想 $n\mathbb{Z}$。向量空间的子模就是线性子空间。$2\mathbb{Z}$ 与 $3\mathbb{Z}$ 的并不是子模，因为 $2,3$ 在并中而 $5$ 不在；其和为 $\mathbb{Z}$，交为 $6\mathbb{Z}$。非空且对标量乘封闭不足以成为子模，还需对加法和负元封闭。生成表达只允许有限和，即使 $S$ 无限也不引入无限级数。有限生成模是存在有限 $S$ 使 $M=⟨S⟩$，不表示其子模自动有限生成；后者需要 Noether 条件。

推论与应用

子模是商模、核像、有限生成性和模分解的基本单位；交与和形成格结构，并在同调代数中充当子对象。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 10, submodules, sums, and generated modules。
• Serge Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer, 2002，Part III, submodules and generators。