子模

把一组元素当作起点，允许反复相加、取负和乘环中的标量，所有有限步能得到的结果就组成它们生成的子模。子模的交保留共同允许的结果；子模的和则把两边的结果混合起来，再对线性运算封闭。直接取并集通常漏掉跨两边相加得到的元素。

子模推广了线性子空间，但直和补未必存在。例如 $2\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的子模。若取另一个非零子模 $m\mathbb{Z}$，二者都会包含非零元素 $2m$，交集不是零；若取零子模，二者的和又只有 $2\mathbb{Z}$。因此没有子模能与 $2\mathbb{Z}$ 组成整个 $\mathbb{Z}$ 的直和。

$\mathbb{Z}$ 作为自身的模，其子模恰为理想 $n\mathbb{Z}$。其中 $2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$ 对整数倍封闭，却不对加法封闭：$2,3$ 在并集中，$2+3=5$ 不在。它们的和是 $\mathbb{Z}$，因为 $3-2=1$，而交是同时被 $2,3$ 整除的整数所成的 $6\mathbb{Z}$。

在 $\mathbb{Z}$-模 ${\mathbb{Z}}^2$ 中取

它是同态 $\phi (a,b)=a+b(\mathrm{mod}2)$ 的核，因而是子模，并且

若 $(a,b)\in N$，则 $b-a$ 为偶数，因此

两个系数都是整数，且表示唯一，所以 $(1,1),(0,2)$ 构成 $N$ 的一组基。这个子模仍有秩二，但在母模中只有两个陪集：坐标和为偶数的一类，以及为奇数的一类。仿射集合 $\{(a,b):a+b=1\}$ 则不含零向量，因此不是子模。

模同态理路模同态Module homomorphism同时保持加法与标量乘法的模之间映射。的核与像天然是子模。对一个子模 $N$，把差属于 $N$ 的元素等同，便得到商模理路商模Quotient module按子模诱导的陪集等价关系取商并继承模运算的结构。；标量作用之所以不依赖代表元，正是因为 $m-m^{\prime }\in N$ 蕴含 $r(m-m^{\prime })\in N$。同构定理、正合列和同调构造都使用这一步。

子模按包含关系形成格，交是下确界，和是上确界。若 $M$ 的每个子模都有限生成，则称 $M$ 为 Noether 模，等价地，子模升链最终稳定。

仅仅 $M$ 自身有限生成还不够。取域 $k$ 和 $R=k[x_1,x_2,\dots ]$，$R$ 作为自身的模由 $1$ 生成，但子模 $(x_1,x_2,\dots )$ 不能有限生成：任何有限组候选生成元只涉及有限多个变量，将这些变量全部置零后，生成元及其任意线性组合都变成零，而尚未涉及的变量仍非零。

若子模包含一份 $R/\mathfrak{p}$，它对应某个非零元素的素零化子，进入伴随素理想理路伴随素理想Associated prime用非零模元素的素零化子定义伴随素理想，计算线与嵌入点，并证明所有零因子恰由这些素理想覆盖。的描述。对子模的另一种精细问题是理想幂滤过：Artin–Rees 引理理路Artin–Rees 引理Artin-Rees lemma有限模子模的交截滤过经过固定滞后后稳定受控；用 Rees 分次模证明公式，并给出有限生成性不能省略的反例。在 Noether 有限模条件下，比较 $N\cap I^{n}M$ 与 $I^{n}N$，并说明两者虽不逐层相等，却给出相同的完备拓扑。