余核

形式陈述 ​

设 $f:M\to N$ 是环 $R$ 上的模同态公理库模同态Module homomorphism同时保持加法与标量乘法的模之间映射。。因为 $\mathrm{im}f$ 是 $N$ 的子模，$f$ 的余核定义为

$$\mathrm{coker}f=N/\mathrm{im}f,$$

并带有自然商映射 $q:N\to N/\mathrm{im}f$。它满足 $q\circ f=0$，且具有如下泛性质：若模同态 $h:N\to P$ 也满足 $h\circ f=0$，则存在唯一模同态 $\overline{h}:\mathrm{coker}f\to P$ 使 $h=\overline{h}\circ q$。良定义性来自 $h$ 在 $\mathrm{im}f$ 上为零：若 $n-n^{\prime }\in \mathrm{im}f$，便有 $h(n)=h(n^{\prime })$。

在模范畴中，$\mathrm{coker}f=0$ 当且仅当 $\mathrm{im}f=N$，也就是 $f$ 满射。范畴地说，余核是 $f$ 与零态射 $0:M\to N$ 的余等化子；商模公式是这一泛性质在模范畴中的具体实现，而非定义在所有范畴中的字面形式。

直觉 ​

核从输入端找出被压到零的方向，余核从输出端把已经命中的部分整体视为零，观察陪域还剩多少无法由输入解释的方向。这里的“剩余”是一族陪集，而不是从集合 $N$ 中删掉 $\mathrm{im}f$：删除会丢失模结构，也不会把同一像方向上的差异统一识别掉。

例子与边界 ​

对整数群即 $\mathbb{Z}$-模同态

$$f:\mathbb{Z}\stackrel{\times n}{\to }\mathbb{Z},f(k)=nk,$$

其像为 $n\mathbb{Z}$，所以 $\mathrm{coker}f=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。商映射记录一个整数模 $n$ 的剩余类；任意满足 $h(nk)=0$ 的群同态都只依赖这个剩余类，因而唯一经由 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 因子化。若 $n=1$，余核为零，对应 $f$ 满射；若 $n=0$，余核仍是整个 $\mathbb{Z}$。

一般范畴中的余核不能机械写成 quotient set。群范畴里，像若非正规子群，需要商去其正规闭包才能得到相应余核；在没有零对象或零态射的范畴中，“余核”本身甚至未必按上述方式定义。因此 $\mathrm{coker}f$ 也绝不是“target - image”的数值相减或集合补集。

推论与应用 ​

在复形 $M\stackrel{f}{\to }N\stackrel{g}{\to }P$ 中，条件 $g\circ f=0$ 使 $g$ 唯一经由 $\mathrm{coker}f$ 因子化；若在 $N$ 处正合，即 $\mathrm{im}f=\ker g$，诱导映射 $\mathrm{coker}f\to P$ 还是单射。于是正合列公理库正合列Exact sequence相邻同态满足前一映像等于后一核的一列模与同态。可同时从像、核与余核观察。PID 上有限自由模间同态的余核可由Smith 正规形公理库PID 上的 Smith 正规形Smith normal form over a PID · Smith normal formPID 上的矩阵可经可逆行列变换化为满足整除链的对角形，且对角因子在相伴意义下唯一。直接分解；在线性代数和同调代数中，余核则分别刻画陪域未命中的维数与态射的满射缺陷。

参考资料

• Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009, Ch. 1, kernels, cokernels, and exact sequences.
• Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd ed., Springer, 1998, Chs. V and VIII, coequalizers and abelian categories.