余核

核从输入端找出被送到零的元素，余核则从输出端把已经命中的部分视为零。具体地，若两个目标元素相差 $f(m)$，它们就在余核中相同。余核保留的是按这种差异划分的陪集；像所在的陪集成为零元素，其余陪集记录目标端尚未被像消除的信息。

对整数群即 $\mathbb{Z}$-模同态

其像为 $n\mathbb{Z}$，所以 $\mathrm{coker}f=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。商映射记录一个整数模 $n$ 的剩余类；任意满足 $h(nk)=0$ 的群同态都只依赖这个剩余类，因而唯一经由 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 因子化。若 $n=1$，余核为零，对应 $f$ 满射；若 $n=0$，余核仍是整个 $\mathbb{Z}$。

群范畴中的商群要求正规子群，因此群同态 $f:G\to H$ 的余核是 $H$ 对 $\mathrm{im}f$ 的正规闭包取商。例如把 $C_2$ 作为一个换位生成的子群嵌入 $S_3$，它的像虽然只有两个元素，正规闭包却包含所有换位，并生成整个 $S_3$。这个非满射的群同态因而具有平凡余核，展示了模范畴的满射判据依赖于所在范畴。

在复形 $M\stackrel{f}{\to }N\stackrel{g}{\to }P$ 中，条件 $g\circ f=0$ 使 $g$ 唯一经由 $\mathrm{coker}f$ 因子化；若在 $N$ 处正合，即 $\mathrm{im}f=\ker g$，诱导映射 $\mathrm{coker}f\to P$ 还是单射。于是正合列理路正合列Exact sequence相邻同态满足前一映像等于后一核的一列模与同态。可同时从像、核与余核观察。PID 上有限自由模间同态的余核可由Smith 正规形理路PID 上的 Smith 正规形Smith normal form over a PID · Smith normal formPID 上的矩阵可经可逆行列变换化为满足整除链的对角形，且对角因子在相伴意义下唯一。直接分解；在线性代数和同调代数中，余核则分别刻画陪域未命中的维数与态射的满射缺陷。