形式陈述

设 $R$ 为含幺环。左 $R$-模 $M$ 是阿贝尔群 $(M,+)$，配有标量作用 $R\times M\to M$，满足

$$r(m+n)=rm+rn,(r+s)m=rm+sm,(rs)m=r(sm),1_{R}m=m.$$

右模把标量写在右侧；当 $R$ 非交换时二者必须区分。域上的模正是向量空间，$\mathbb{Z}$-模正是阿贝尔群；环 $R$ 自身按左乘是左正则模。与向量空间相比，模中的非零标量未必可逆，因而线性无关、基和维数不再拥有普遍良好性质。若不要求 $1_{R}m=m$，称非幺模；本库采用幺模约定。

直觉

模把向量空间中的“标量域”放宽为一般环：仍能相加和分配，但标量可能有零因子、不可除，从而产生更丰富的扭结与挠元。

例子与边界

任意阿贝尔群 $A$ 通过 $na=a+\cdots +a$ 成为 $\mathbb{Z}$-模。$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$-模，但不是向量空间，因为非零整数标量不都可逆。理想 $I◃R$ 是 $R$ 的子模。若 $R$ 非交换，矩阵环上的左模与右模结构可能不同，不能自由交换标量次序。模不一定有基：$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 作为 $\mathbb{Z}$-模不是自由模。即使存在生成集，也可能有不可消除关系；“有限生成”不等于“有限集合”，如 $\mathbb{Z}$ 由一个元素生成但无限。

推论与应用

模统一线性代数、阿贝尔群和理想理论，是同调代数、表示论和交换代数处理“带系数线性结构”的基本对象。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 10, modules over rings and basic examples。
• Serge Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer, 2002，Part III, modules and scalar actions。