模

模保留向量空间的加法与标量作用，却把标量域放宽为一般环。非零标量可能不可逆，甚至是零因子；因此向量空间里“除以标量”的步骤不再合法，模可能无基，子模可能无补，有限生成也不保证自由。这些不是线性代数的异常，而是模用来记录环的整除性、零因子与挠元信息的方式。

左、右之分也不是记号游戏。非交换环中 $rs$ 与 $sr$ 可能不同，标量作用放在哪一侧会改变结合律的次序；双模正是同时协调两个标量环的接口。

任意阿贝尔群 $A$ 通过整数倍 $na$ 成为 $\mathbb{Z}$-模；反过来，每个 $\mathbb{Z}$-模的标量作用都由加法群唯一决定。域上的模正是向量空间，环 $R$ 自身按左乘是左正则模；交换环的理想是其子模。

把 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 看成 $\mathbb{Z}$-模，乘 $2$ 的模同态

有非平凡核 $\{[0],[3]\}$，说明非零标量不能像域中那样随意消去。$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 由一个元素生成，但不是自由 $\mathbb{Z}$-模；与之相对，${\mathbb{Z}}^2$ 有基 $(1,0),(0,1)$。“有限生成”只说有限个元素的线性组合覆盖全模，既不表示底层集合有限，也不保证生成元之间没有关系。

模统一向量空间、阿贝尔群和环上的理想。子模公理库子模Submodule对加法和标量乘法封闭的模子集。与商模给出同构定理，张量积公理库张量积Tensor product把双线性映射统一因子化为线性映射的向量空间构造。通过双模连接不同标量环。沿保幺环同态 $R\to S$，限制标量把 $S$-模看成 $R$-模，扩张标量则用 $S{\otimes }_{R}M$ 把 $R$-模送到 $S$-模。

自由模公理库自由模Free module具有基、因而每个元素可唯一写为有限线性组合的模。拥有基，一般模可用自由分辨率来研究。PID 上有限生成模结构定理公理库PID 上有限生成模结构定理Structure theorem for finitely generated modules over a PIDPID 上每个有限生成模唯一分解为有限秩自由部分与满足整除链的循环挠模。把有限生成模分成自由部分与循环挠部分，同时解释整数矩阵和有限生成阿贝尔群；该分解依赖 PID 与有限生成，不能作为一般模的性质。表示论、同调代数和交换代数都以模作为基本对象。