形式陈述

模同态序列

$$ \cdots\longrightarrow M_{i-1}\xrightarrow{f_{i-1}}M_i \xrightarrow{f_i}M_{i+1}\longrightarrow\cdots $$$$\cdots ⟶M_{i-1}\stackrel{f_{i-1}}{\to }{M}_i\stackrel{f_i}{\to }{M}_{i+1}⟶\cdots$$

在 $M_i$$M_i$ 处称为正合，若

$$ \operatorname{im}f_{i-1}=\ker f_i. $$$$\mathrm{im}{f}_{i-1}=\ker f_i.$$

于是相邻复合必为零，但“复合为零”只给出包含关系，未必正合。短正合列

$$ 0\to A\xrightarrow{u}B\xrightarrow{v}C\to0 $$$$0\to A\stackrel{u}{\to }B\stackrel{v}{\to }C\to 0$$

等价于 $u$$u$ 单射、$v$$v$ 满射且 $\operatorname{im}u=\ker v$$\mathrm{im}u=\ker v$，因而 $C\cong B/u(A)$$C\cong B/u(A)$。若存在截面 $s:C\to B$$s:C\to B$ 使 $v\circ s=\mathrm{id}_C$$v\circ s={\mathrm{id}}_C$，则序列分裂且 $B\cong A\oplus C$$B\cong A\oplus C$；一般短正合列不必分裂。

直觉

正合表示信息无缝传递：前一映射产生的元素恰好是下一映射看不见的元素，既没有额外丢失，也没有遗漏的零方向。

例子与边界

$0\to\mathbb Z\xrightarrow{\times n}\mathbb Z\to\mathbb Z/n\mathbb Z\to0$$0\to \mathbb{Z}\stackrel{\times n}{\to }\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to 0$ 正合，但作为 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$-模在 $n>1$$n>1$ 时不分裂，因为 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 中没有阶 $n$$n$ 元素可作为商的截面像。向量空间上的每个短正合列都分裂，因为可选补空间。序列 $A\xrightarrow0 B\xrightarrow0 C$$A\stackrel{0}{\to }B\stackrel{0}{\to }C$ 只有在相应核像条件满足时才正合，不能因复合为零就断言。$0\to A\xrightarrow u B$$0\to A\stackrel{u}{\to }B$ 正合等价 $u$$u$ 单射；$B\xrightarrow v C\to0$$B\stackrel{v}{\to }C\to 0$ 正合等价 $v$$v$ 满射。箭头可逆远强于正合，正合列中的单个映射通常不是同构。

推论与应用

正合列压缩核、像、商和扩张关系；链复形的同调正是衡量正合失败的商，长正合列则传播局部代数信息。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 10, exact sequences and splitting。
• Serge Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer, 2002，Part III, exactness and module extensions。