正合列

正合性逐点要求“上一箭头产生的元素，恰好是下一箭头会杀掉的元素”。它同时排除两类缺口：下一映射不能额外杀掉没来由的元素，上一映射也不能漏掉所有应被杀掉的元素。短正合列因此把一个对象表示成子对象与商对象的黏合，而不是简单的集合并。

序列 $A\stackrel{0}{\to }B\stackrel{0}{\to }C$ 只有在相应核像条件满足时才正合，不能因复合为零就断言。$0\to A\stackrel{u}{\to }B$ 正合等价于 $u$ 单射；$B\stackrel{v}{\to }C\to 0$ 正合等价于 $v$ 满射。箭头可逆远强于正合，正合列中的单个映射通常不是同构。

设 $F$ 的特征为 $0$，$P_n(F)$ 表示次数至多$n$ 的多项式空间。求导给出短正合列

因为常数恰是 $D$ 的核，而每个次数至多$n-1$ 的多项式都有原函数。若 $\mathrm{char}F=p$ 且 $n\ge p$，满射性会失败：$x^{p-1}$ 不可能是某个多项式的导数，因为 $D(x^p)=p{x}^{p-1}=0$。正合性必须逐点检查核与像，不能只看相邻映射复合为零。

正合列压缩核、像、商和扩张关系；链复形的同调正是衡量正合失败的商，长正合列则传播局部代数信息。核与像公理库线性映射的核与像Kernel and image · Null space and range分别记录被线性映射压到零的方向与实际能够到达的向量集合。给出正合性的局部定义，余核公理库余核Cokernel · 余核对象将目标模中已被同态像命中的部分商去，留下映射未覆盖方向的泛性质对象。描述一条箭头在目标端的满射缺陷，商模公理库商模Quotient module按子模诱导的陪集等价关系取商并继承模运算的结构。提供二者所需的商构造。正合列由此组织同态基本定理、同调群与导出函子；若还要判断扩张是否携带非平凡粘合信息，则转向分裂条件公理库分裂正合列Split exact sequence · Splitting lemma短正合列通过同态截面或回缩与子对象和商对象相容地分解。。