Tor 函子

张量积会把商关系正确搬过去，却可能把原本不同的元素压到一起，因此一般保持满射而不保持单射。投射分解先把 $N$ 换成逐层可控的模；张量后出现的核不再由下一层像完全解释时，剩余同调就是 Tor。

${\mathrm{Tor}}_1$ 是最先出现的“新核”。它能检测一个模是否含有会与另一模相互作用的挠性，但 Tor 不等同于模自身的挠子模：它依赖底环和两个输入，换一个伙伴模可能得到完全不同的结果。

令 $M=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$、$N=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，并取 $M$ 的自由分解

与 $N$ 张量后得到复形

设 $d=gcd(m,n)$。零次同调是乘 $m$ 的余核，故

与普通张量积一致。一次同调是乘 $m$ 的核；类 $[n/d]$ 生成这个核，也有 $d$ 个元素，所以

由于分解长度为 $1$，所有 $k\ge 2$ 的 Tor 为零。这个计算不是“把两个模的阶取最大公因数”的经验公式；它来自一个明确微分的核与余核，并依赖底环是 $\mathbb{Z}$。

若底环是域 $k$，每个模都是向量空间且自由，故所有正次数 ${\mathrm{Tor}}_n^k$ 消失。若一个变量投射，结论同样成立。平坦模也使 ${\mathrm{Tor}}_1$ 对所有伙伴消失，但平坦不必投射；因此从一次消失直接推出存在投射直和分解通常是错误的。

平衡性也不是交换两个变量的形式对称。对非交换环，$M{\otimes }_{R}N$ 只能把右 $R$-模与左 $R$-模配对；改为分解 $M$ 时，应在右模范畴取投射分解。只有交换环或额外双模结构允许写出交换同构。忽略手性会让张量关系 $(mr)\otimes n=m\otimes (rn)$ 的两边失去类型。

对左模的短正合列公理库短正合列Short exact sequence · Short exact extension以单态射、满态射和中间正合性把子对象、扩张对象与商对象连接起来的三项正合列。 $0\to N^{\prime }\to N\to N^{″}\to 0$，固定右模 $M$ 后得到长正合列

最左连接态射精确控制 $M\otimes N^{\prime }\to M\otimes N$ 为什么可能不再单射。一个左模 $N$ 平坦，当且仅当 $-{\otimes }_{R}N$ 正合；等价地，${\mathrm{Tor}}_1^R(M,N)=0$ 对所有右模 $M$ 成立。

Tor 出现在同调的泛系数定理与 Künneth 公式中，修正“先取同调再张量”与“先张量链复形再取同调”之间的差异。公式通常还需要平坦性、投射性或适当收敛条件；只看到 Tor 项的名称，不能忽略这些假设而直接写分解。