Abel 范畴

加性范畴已经能把箭头写成矩阵，但它可能缺少解线性方程所得的子对象或商对象。Abel 范畴要求这些缺口都能在范畴内部表示，而且“先商掉看不见的输入”与“只保留真正到达的输出”得到同一个中间对象。

余像—像同构把一条态射拆成“满态射—同构—单态射”。这是第一同构定理的范畴化。正因为这种分解不依赖元素，核—像图表追逐、正合列和同调可以在层、表示、模等完全不同的对象上使用同一套证明。

对任意环 $R$，$R\text{-}\mathbf{Mod}$ 是 Abel 范畴。取 $\mathbb{Z}$-模同态理路模同态Module homomorphism同时保持加法与标量乘法的模之间映射。

其核为 $0$，所以 $\mathrm{coim}f\cong \mathbb{Z}$；其余核为 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，故像对象是商映射的核 $n\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{Z}$。典范映射

确为同构，其逆把 $nk$ 送回 $k$。随后接上包含 $n\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{Z}$，才得到原来的乘 $n$ 映射。这个分解具体展示了像对象与原陪域各自承担的角色。

现在只允许有限生成自由 Abel 群作为对象，就得到一个加性范畴理路加性范畴Additive category具有零对象与有限双积、因而支持对象直和和态射矩阵演算的预加性范畴。。在其中重新计算 $f=\times 2:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ 的余核。若 $g:\mathbb{Z}\to L$ 满足 $g\circ f=0$，则 $2g(1)=0$；自由 Abel 群 $L$ 无挠，故 $g=0$。所以在这个子范畴中，$f$ 的余核是 $\mathbb{Z}\to 0$。

因此这个子范畴内的 $\mathrm{coim}f$ 与 $\mathrm{im}f$ 都是 $\mathbb{Z}$，典范映射 $\overline{f}$ 正是乘 $2$，没有逆。失败发生在余像—像同构条件；在整个 Abel 群范畴中计算得到的余核 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，则使用了这里已排除的目标对象。

Banach 空间及有界线性映射提供另一种失败机制。包含 ${\ell }^1\hookrightarrow {\ell }^2$ 连续且像稠密，因为有限支撑序列已稠密；但 $(1/n{)}_{n\ge 1}$ 属于 ${\ell }^2$ 而不属于 ${\ell }^1$。这个范畴中的余核要商掉像的闭包，所以该包含的余核为零，像对象为整个 ${\ell }^2$，余像为 ${\ell }^1$。两者间的典范态射仍是非满射的包含，因而不是同构。

在 Abel 范畴中，有限积与余积一致，单态射和满态射分别由核与余核控制，正合性可以定义为 $\mathrm{im}f=\ker g$。于是短正合列、蛇引理、五引理以及同调长正合列都只依赖图表和泛性质，不依赖元素。任意链复形的同调对象可定义为 $\ker d_n/\mathrm{im}{d}_{n+1}$，并且链映射自然诱导同调态射。

Abel 范畴还是平衡范畴：若 $f$ 同时为单态射和满态射，则 $\ker f=0$ 且 $\mathrm{coker}f=0$，所以余像与像分别同构于源和靶；典范的余像—像同构遂给出 $f$ 的逆。由此，证明一条态射可逆可以分为验证两种消去性。

有限维向量空间构成 Abel 范畴，但其中不存在可数个 $k$ 的余积。若存在，取各分量中 $1$ 的像，再用余积性质构造读取单个分量的线性映射，就会迫使这些像线性无关，与有限维矛盾。Abel 公理提供的是有限正合演算所需的构造。

有足够多投射或内射对象，分别保证投射分解或内射分解能够用于每个对象。前者使每个对象接收来自投射对象的满态射，后者使每个对象嵌入一个内射对象，因此相应分解能逐层延续，用于构造导出函子。