Abel 范畴 | Codeboy's Blog

形式陈述

Abel 范畴 $\mathcal A$ 是一个加性范畴，满足每个态射 $f:A\to B$ 都有核和余核，并且由它们定义的余像与像之间的典范态射总是同构。

范畴中的核 $k:K\to A$ 以泛性质刻画： $fk=0$ ，且任意满足 $fg=0$ 的 $g:X\to A$ 唯一经 $k$ 分解。它推广了模或线性映射的核。余核 $q:B\to Q$ 对偶地满足 $qf=0$ 及相应的唯一分解性质；在模范畴中就是余核 $B/\operatorname{im}f$ 。

定义

\operatorname{coim}f=\operatorname{coker}(\ker f), \qquad \operatorname{im}f=\ker(\operatorname{coker}f).

由 $f$ 的泛性质存在唯一分解

A\twoheadrightarrow\operatorname{coim}f \xrightarrow{\bar f} \operatorname{im}f\hookrightarrow B.

Abel 条件要求 $\bar f$ 对每个 $f$ 都是同构。等价地， $\mathcal A$ 是有所有核与余核的加性范畴，并且每个单态射都是某态射的核、每个满态射都是某态射的余核。这里的“满态射”是右可消态射，不应先验理解为底层集合上的满函数。

直觉

加性范畴已经能把箭头写成矩阵，但它可能缺少解线性方程所得的子对象或商对象。Abel 范畴要求这些缺口都能在范畴内部表示，而且“先商掉看不见的输入”与“只保留真正到达的输出”得到同一个中间对象。

余像—像同构把一条态射拆成“满态射—同构—单态射”。这是第一同构定理的范畴化。正因为这种分解不依赖元素，核—像图表追逐、正合列和同调可以在层、表示、模等完全不同的对象上使用同一套证明。

例子与边界

对任意环 $R$ ， $R\text{-}\mathbf{Mod}$ 是 Abel 范畴。取 $\mathbb Z$ -模同态

f:\mathbb Z\xrightarrow{\times n}\mathbb Z,\qquad n\ne0.

其核为 $0$ ，所以 $\operatorname{coim}f\cong\mathbb Z$ ；其余核为 $\mathbb Z/n\mathbb Z$ ，故像对象是商映射的核 $n\mathbb Z\hookrightarrow\mathbb Z$ 。典范映射

\bar f:\mathbb Z\longrightarrow n\mathbb Z,\qquad k\longmapsto nk

确为同构。注意它不是 $\mathbb Z\to\mathbb Z$ 的同构：像对象连同嵌入是数据的一部分，不能把像与陪域混同。

有限生成自由 Abel 群的范畴是加性的，却不是 Abel 范畴。上面的 $\times n$ 态射两端都自由，但其余核 $\mathbb Z/n\mathbb Z$ 不自由，因而余核不留在该子范畴中。这解释了“态射能写矩阵”为什么不足以支撑一般正合演算。

群范畴 $\mathbf{Grp}$ 有零对象、核和余核，却不是预加性的：两个群同态通常不能逐点相加为群同态。因此它也不是 Abel 范畴。另一方面，拓扑 Abel 群或 Banach 空间的某些自然范畴中，余像到像可能只给出稠密嵌入而非同构；拓扑闭包问题正是 Abel 条件可能失效之处。

推论与应用

在 Abel 范畴中，有限积与余积一致，单态射和满态射分别由核与余核控制，正合性可以定义为 $\operatorname{im}f=\ker g$ 。于是短正合列、蛇引理、五引理以及同调长正合列都只依赖图表和泛性质，不依赖元素。任意链复形的同调对象可定义为 $\ker d_n/\operatorname{im}d_{n+1}$ ，并且链映射自然诱导同调态射。

Abel 范畴还是平衡范畴：若 $f$ 同时为单态射和满态射，则 $\ker f=0$ 且 $\operatorname{coker}f=0$ ，所以余像与像分别同构于源和靶；典范的余像—像同构遂给出 $f$ 的逆。这一步在一般范畴中会失败，例如幺半群的范畴式态射可以左右可消却不可逆。因而图表追逐中从“单且满”推到“同构”实际使用了 Abel 条件。

Abel 范畴仍不自动具有任意极限、任意余极限、投射对象或内射对象。构造导出函子时，常需额外假设“有足够多投射对象”或“有足够多内射对象”；省略这项存在性条件，会让选取分解的步骤根本无法开始。

参考资料

Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd ed., Springer, 1998，Ch. VIII, §§3–4。
Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，§1.2。
Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009，Ch. 5, §§5.3–5.5。

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