范畴积与余积

积不是固定的笛卡尔积公式，而是“同时给出两份信息”的最普遍对象；余积是“从两个来源接收信息”的最普遍对象。积与余积的关键不在元素长什么样，而在所有映射如何唯一地穿过它们。积把“分别映到 $A$ 与 $B$”压缩成“一次映到某个共同对象”；余积则把“分别从 $A$ 与 $B$ 出发”拼成“一次从共同来源出发”。这种由外部映射刻画对象的方式，使定义不依赖任何具体构造。

Set 中积是笛卡尔积、余积是不交并；群中积是直积，而有限阿贝尔群的有限余积与直和一致。不同范畴公理库范畴Category由对象、态射、源目标、结合复合与单位态射构成的结构。中的具体实现不同。在 $\mathbf{Set}$ 中，给定$f:X\to A$ 与 $g:X\to B$，唯一配对映射为 $x\mapsto (f(x),g(x))$；这验证$A\times B$ 的积性质。余积 $A\bigsqcup B$ 必须保留来源标签，否则当 $A$ 与 $B$ 有公共元素时，普通并集会丢失信息。在群范畴中有限积与有限余积一般不同：直积满足积性质，自由积满足余积性质。

连接极限、拉回、积类型、和类型以及代数结构的自由组合。泛性质公理库泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。保证任意两个实现都唯一同构，因此可以只凭映射规律操作构造。积是离散图形的 范畴极限公理库极限与余极限Limit and colimit用锥的终对象或余锥的始对象统一积、等化子、拉回及其对偶。，余积是相应余极限；在类型论中它们对应积类型与和类型，在代数中则引出直积、自由积和张量型构造。