范畴积与余积

积把两条共同出发的箭头合成一条：给出到 $X$、$Y$ 的映射，就能唯一映到积中，再由投影读出两个分量。余积把两条共同到达的箭头拼成一条：分别规定从 $X$、$Y$ 出发怎样映到 $Z$，就唯一确定了从余积到 $Z$ 的映射。

在 $\mathbf{Set}$ 中，积是笛卡尔积。给定 $f:Z\to X$、$g:Z\to Y$，配对映射为 $z\mapsto (f(z),g(z))$。两个投影确定每个有序对的坐标，所以也确定了整个配对映射。

集合的余积是不交并，可写成

给定 $f:X\to Z$、$g:Y\to Z$，规定 $[f,g](x,0)=f(x)$、$[f,g](y,1)=g(y)$，便得到唯一映射。来源标签使两个单点集的余积有两个元素，而它们的积只有一个元素。

在群范畴中，积为直积，余积为自由积。例如 $C_2\times C_2$ 有四个元素，$C_2\ast C_2$ 中却有任意长的交替约化词，因而无限。改到 Abel 群范畴后，有限直和同时实现积与余积：从 $A\oplus B$ 到 $C$ 的映射由 $(a,b)\mapsto f(a)+g(b)$ 给出，交换律保证它是群同态。

若一个范畴只有两个不同对象 $X,Y$ 及各自的恒等态射，则 $X,Y$ 没有积：任何候选对象都缺少到另一对象的投影。反转箭头后同样可知它们没有余积。

泛性质理路泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。直接给出积上的映射。若 $a:X\to X^{\prime }$、$b:Y\to Y^{\prime }$，定义 $a\times b$ 为投影分别是 $a{\pi }_X$、$b{\pi }_Y$ 的唯一态射。两次这样构造后，其投影等于两组分量的复合，所以

选定各对对象的积后，这就是积函子的复合律。余积上的映射用射入态射对偶地定义。积是二点离散图形的极限理路极限与余极限Limit and colimit用锥的终对象或余锥的始对象统一积、等化子、拉回及其对偶。，余积是同一图形的余极限；类型论中的积类型与和类型分别采用这两套配对规则。