形式陈述

对象 $X,Y$ 的积是对象 $P$ 与投影 $p_X,p_Y$，使任意 $Z$ 上的一对箭头唯一分解为 $Z\to P$；余积反向定义。满足泛性质的对象在唯一同构意义下唯一。

直觉

积不是固定的笛卡尔积公式，而是“同时给出两份信息”的最普遍对象；余积是“从两个来源接收信息”的最普遍对象。

例子与边界

Set 中积是笛卡尔积、余积是不交并；群中积是直积，而有限阿贝尔群的有限余积与直和一致。不同范畴中的具体实现不同。

推论与应用

连接极限、拉回、积类型、和类型以及代数结构的自由组合。

参考资料

• Emily Riehl, Category Theory in Context (2016), products and coproducts.
• Steve Awodey, Category Theory (2006/2010), universal constructions.