极限与余极限 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $J$ 为小范畴， $D:J\to\mathcal C$ 为给定图式的函子。以 $L$ 为顶点的锥是一族态射 $\lambda_j:L\to D(j)$ ，并且对每条 $\alpha:j\to k$ 都满足 $D(\alpha)\circ\lambda_j=\lambda_k$ 。若任意另一锥 $(X,\mu_j)$ 都存在唯一态射 $u:X\to L$ ，使

\lambda_j\circ u=\mu_j\qquad(\forall j\in J),

则 $(L,\lambda_j)$ 是 $D$ 的极限，记作 $L\cong\lim D$ 。

对偶地，余锥 $(C,\iota_j)$ 由态射 $\iota_j:D(j)\to C$ 组成，满足 $\iota_k\circ D(\alpha)=\iota_j$ 。若任意余锥 $(X,\mu_j)$ 都存在唯一 $u:C\to X$ 使 $u\circ\iota_j=\mu_j$ ，则 $C$ 是余极限，记作 $C\cong\operatorname{colim}D$ 。两者不保证存在；存在时在保持结构态射的唯一同构意义下唯一。具有所有小极限的范畴称为完备范畴，具有所有小余极限的范畴称为余完备范畴。

直觉

极限寻找与图式中所有对象兼容的最普遍共同来源；余极限把图式按给定关系粘合成最普遍共同去向。极限把一张图中所有对象的兼容信息集中到一个“最普遍的共同来源”，余极限则把对象按图中的关系黏合成“最普遍的共同去处”。定义只谈锥及其唯一分解，因此积、等化子、拉回等看似不同的构造只是不同图形下的同一原则。对偶化箭头方向便把极限变成余极限。

例子与边界

离散双点图式的极限是积；平行箭头 $f,g:A\rightrightarrows B$ 的极限是等化子；拉回则是特定的有限极限。以集合范畴为例，拉回为

A\times_C B=\{(a,b):f(a)=g(b)\},

它同时记录两边映到 $C$ 后相容的元素。余极限中的推出则把不交并按共同子对象识别；直接取普通并集通常不满足泛性质。这些构造是否存在取决于所在的范畴，不能只凭图式写下符号便默认存在。

推论与应用

统一代数构造、拓扑粘合、数据库连接和语义中的递归/余递归结构。范畴积与余积是最简单的极限与余极限，泛性质保证构造在唯一同构意义下确定。它们组织拓扑中的乘积与商、代数中的逆极限与直极限、数据库连接以及语义中的递归方程。

参考资料

Emily Riehl, Category Theory in Context (2016), limits and colimits.
Steve Awodey, Category Theory (2006/2010), limits and colimits.

形式陈述 ​

反向链接

形式陈述