极限与余极限

锥把同一个来源 $X$ 送往图式里的各个对象，并要求沿图式箭头走不同路线时得到相同结果。极限 $L$ 汇集了这些相容信息：任何相容的送法都能先经过 $L$，再走它的结构态射，而且中间那一步只有一种选择。这就是“最普遍的共同来源”。

余极限把箭头反过来，让图式中的对象共同映入一个目标。它先按图式规定的关系把对象粘合起来；只要另一种映法遵守同样关系，就能唯一地通过这个粘合结果。积、等化子、拉回以及它们的对偶，分别对应不同形状的图式。

图式只有两个对象及各自的恒等态射时，相容性没有额外限制，极限就是积理路范畴积与余积Categorical product · Coproduct由到各分量或从各分量的箭头所刻画的二元极限与余极限。。对平行箭头 $f,g:A\rightrightarrows B$，相容性则要求选出的元素经 $f,g$ 得到同一个值；集合范畴中的等化子因此是 $\{a\in A:f(a)=g(a)\}$。

拉回：只配对相容的元素 ​

给定集合映射 $f:A\to C$、$g:B\to C$，拉回是笛卡尔积理路笛卡尔积Cartesian product · Direct product of sets由各坐标分别取值形成的有序元组集合；二元情形记作 A×B。中的相容配对：

例如 $A=\{a_1,a_2\}$、$B=\{b_1,b_2,b_3\}$，把它们送到 $C=\{0,1\}$：$f(a_1)=0,f(a_2)=1$，而 $g(b_1)=g(b_2)=0,g(b_3)=1$。拉回恰有三对 $(a_1,b_1),(a_1,b_2),(a_2,b_3)$，因为每一对都具有相同的 $C$ 坐标。

若某个 $X$ 同时映入 $A,B$，并且两个映射在 $C$ 中相容，就将每个 $x$ 送到这两个像组成的有序对。这个有序对一定属于拉回，而且由两个投影唯一确定，正好验证了极限的唯一分解要求。

推出：按共同来源粘合 ​

将图式反向，给定 $A\leftarrow C\to B$，集合范畴中的推出是一个商集理路商集Quotient set · Set of equivalence classes等价关系的所有等价类组成的集合。：先取不交并 $A\bigsqcup B$，对每个 $c\in C$ 识别它在两侧的像，再按这些识别生成的等价关系取商。

例如 $A=\{a,s\}$、$B=\{t,b\}$，单元素集 $C=\{c\}$ 分别映到 $s,t$。推出有三个类 $\{a\},\{s,t\},\{b\}$。任何从 $A,B$ 到另一个集合的映射，只要给 $s,t$ 相同的像，就能在这三个类上良定义，因而唯一地通过推出。

数据库按共同键连接两张表时，每条结果记录就是一对具有相同键值的记录，与拉回的相容配对一致。拓扑中的粘合则采用余极限思路：先说明哪些点应当识别，再为所得空间配上相应拓扑。

代数中的逆极限汇集一系列彼此相容的近似，直极限则把逐步扩张的对象及其关系合并。各个领域的具体对象不同，验证构造时使用的仍是同一种泛性质理路泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。：结构映射满足图式关系，其他满足关系的映射能唯一地通过该对象。

理想进完备化理路I-adic 完备化Adic completion · I-adic completion把模 I 的逐阶兼容近似组成逆极限，计算形式幂级数和 5 进逆元，并说明 Noether 有限性下的正合与忠实平坦条件。把“相容近似”落实为一列模 $I^n$ 的余类，投影必须逐层吻合。对 $k[x]$ 和 $I=(x)$，这种逆极限正是形式幂级数环；这也说明极限可以包含原对象没有的元素，而是否保留正合性需要额外条件。