泛性质

泛性质通过全部候选者与一个对象之间的映射来识别构造。以积为例，候选者交来两条映射 $f,g$，积便把它们合成唯一的配对映射 $⟨f,g⟩$；再用两个投影读取，恰好取回输入的数据。存在性让每份数据都能装进去，唯一性让这份数据只有一种装法。

始对象型构造采用相反方向：先给出一个带生成数据的对象，再把它唯一映到每个候选者。自由群就是这种情形，生成元的去向确定了整个群同态。

固定集合 $S$，记遗忘函子 $U:\mathbf{Grp}\to \mathbf{Set}$。自由群理路自由群Free group · 自由群构造除群公理强制的逆元约消外不带任何关系，并由生成集映射的唯一延拓刻画的群。问题的候选对象是群 $G$ 连同集合映射 $j:S\to U(G)$；候选态射 $h:(G,j)\to (H,k)$ 是满足 $U(h)j=k$ 的群同态。自由群 $F(S)$ 连同生成元嵌入 $i$ 是这个范畴的始对象。例如 $S=\{a,b\}$ 时，指定 $a\mapsto g$、$b\mapsto h$ 后，约化词 $ab{a}^{-1}$ 必被送到 $gh{g}^{-1}$；逐词求值给出同态，也证明它由生成元的像唯一决定。

商群理路商群Quotient group将正规子群压成单位元后，在其陪集商集上诱导出的群。展示了带关系的唯一因子化。若 $N⊴G$，候选对象是把 $N$ 送到单位元的同态 $f:G\to H$。每个这样的 $f$ 唯一经商映射 $q:G\to G/N$ 分解，诱导映射为 $\overline{f}(gN)=f(g)$。条件 $N\subseteq \ker f$ 保证选不同陪集代表得到相同结果，满射 $q$ 则保证 $\overline{f}$ 唯一。

唯一性也有直接的筛选作用。令 $A=B=\{\ast \}$，任一非空集合 $P$ 都有到它们的投影，而且每对映射 $X\to A,B$ 都能经 $P$ 分解：选一个 $p\in P$，取常值映射即可。若 $P$ 有两个元素，从单点集到 $P$ 就有两种选择，因而不满足积的唯一性。真正的积在这里是单点集。

若 $U,V$ 都是候选范畴 $\mathcal{U}$ 的始对象，取唯一态射 $u:U\to V$ 与 $v:V\to U$。复合 $vu$ 是 $U$ 的自态射，而始对象只有恒等自态射，所以 $vu=1_U$；同理 $uv=1_V$。因此得到唯一保持候选结构的同构。终对象的证明反转箭头即可，积与余积理路范畴积与余积Categorical product · Coproduct由到各分量或从各分量的箭头所刻画的二元极限与余极限。及一般极限与余极限理路极限与余极限Limit and colimit用锥的终对象或余锥的始对象统一积、等化子、拉回及其对偶。的唯一性都由此得到。

泛性质还定义构造在态射上的作用。例如 $a:A\to A^{\prime }$、$b:B\to B^{\prime }$ 诱导唯一的 $a\times b:A\times B\to A^{\prime }\times B^{\prime }$，其两个投影分别为 $a{\pi }_A$、$b{\pi }_B$。恒等与复合两种规则都可通过比较投影并使用唯一性来证明，于是选定的积构成函子。可表函子理路可表函子Representable functor自然同构于某个 Hom 函子的函子。用自然双射统一表达这种“每份数据对应唯一态射”的关系。