泛性质

泛性质不用内部材料刻画对象，而用它在全部候选者之间承担的唯一角色来刻画。始对象型构造从泛对象唯一映向每个候选者，常表现为“最自由”；终对象型构造由每个候选者唯一映入，常表现为“最兼容”。关键不只是某种分解存在，而是它在指定结构下唯一。

把候选者和保持结构的映射真正组成范畴，能消除“泛性质通常长这样”的模糊说法。积、余积、自由对象和表示对象看似方向各异，其形式核心都只是某个结构化范畴中的始对象或终对象。

余积是余锥范畴中的始对象；自由群可在以集合映入群底层集合为对象的 comma 范畴中视为始对象。对 presheaf $F:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$，表示对象连同 universal element 是元素范畴 $\int F$ 的终对象；对协变函子 $F:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$，相应 universal element 则是元素范畴的始对象。商对象、张量积与局部化也各自在自己的候选范畴中满足唯一因子化性质。

只证明“每个候选映射都能分解”而不证明唯一，通常不足以刻画对象。唯一也不是说两个具体实现逐字相等：若 $U,V$ 都是 $\mathcal{U}$ 的始对象，唯一态射 $U\to V$ 与 $V\to U$ 的复合只能是各自唯一的自态射，因而互为逆。这给出唯一保持结构的同构。改变所处范畴或允许的态射后，泛对象也可能改变。

“泛对象唯一到唯一同构”由始、终对象的一般定理自动推出。积与余积公理库范畴积与余积Categorical product · Coproduct由到各分量或从各分量的箭头所刻画的二元极限与余极限。、极限与余极限公理库极限与余极限Limit and colimit用锥的终对象或余锥的始对象统一积、等化子、拉回及其对偶。、自由对象和表示对象因此可以用同一语言描述。可表函子公理库可表函子Representable functor自然同构于某个 Hom 函子的函子。与 Yoneda 引理进一步把元素式的唯一因子化转化为自然同构，并常自动给出构造对参数的函子性。