形式陈述

设 $R$$R$ 为交换含幺环，$S\subseteq R$$S\subseteq R$ 是含 $1$$1$ 的乘法闭集。局部化 $S^{-1}R$$S^{-1}R$ 的元素写作 $r/s$$r/s$，并令

$$ (r,s)\sim(r',s')\Longleftrightarrow \exists u\in S:\ u(rs'-r's)=0. $$$$(r,s)\sim (r^{\prime },s^{\prime })⟺\mathrm{\exists }u\in S:u(r{s}^{\prime }-r^{\prime }s)=0.$$

按通常分数公式定义加法与乘法。规范同态 $\iota:R\to S^{-1}R$$\iota :R\to S^{-1}R$ 把每个 $s\in S$$s\in S$ 变为单位，并满足泛性质：任意把 $S$$S$ 全部映为单位的环同态 $R\to T$$R\to T$ 唯一经 $S^{-1}R$$S^{-1}R$ 因子化。若 $0\in S$$0\in S$，局部化是零环；若 $S$$S$ 中元素都是非零且 $R$$R$ 为整环，则 $\iota$$\iota$ 单射，但一般核为被某个 $s\in S$$s\in S$ 消去的元素。

直觉

局部化允许指定一批分母合法，把只在这些元素不为零的区域内可见的代数信息放大，同时忽略被这些分母消去的部分。

例子与边界

对整环取 $S=R\setminus\{0\}$$S=R\setminus \{0\}$ 得分式域。对素理想 $\mathfrak p$$\mathfrak{p}$ 取 $S=R\setminus\mathfrak p$$S=R\setminus \mathfrak{p}$，得到局部环 $R_\mathfrak p$$R_{\mathfrak{p}}$，其唯一极大理想为 $\mathfrak pR_\mathfrak p$$\mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}$。$\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 中把 $2$$2$ 变为可逆可得 $\mathbb Z[1/2]$$\mathbb{Z}[1/2]$，分母为 $2$$2$ 的幂。若 $R=\mathbb Z/6\mathbb Z$$R=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 且把 $2$$2$ 局部化，元素 $3$$3$ 映为零，因为 $2\cdot3=0$$2\cdot 3=0$；因此规范映射未必注入。等价关系不能简化为交叉相乘相等，除非有足够消去律。理想与局部化理想之间的对应只涵盖与 $S$$S$ 不交并满足适当饱和条件的理想。

推论与应用

局部化构造局部环、分式域和仿射簇开集上的函数，是交换代数从全局到某个素理想邻域的核心工具。

参考资料

• M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969，Chs. 3–4, rings and modules of fractions。
• Serge Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer, 2002，Part II, localization and local rings。