形式陈述

交换含幺环 $R$$R$ 称为 Noether 环，若每个理想都有限生成。以下条件等价：

1. 每个理想有限生成；
2. 任意升链 $I_1\subseteq I_2\subseteq\cdots$$I_1\subseteq I_2\subseteq \cdots$ 最终稳定；
3. 任意非空理想族含有包含极大元。 商环与局部化保持 Noether 性；Hilbert 基定理断言若 $R$$R$ Noether，则 $R[x_1,\ldots,x_n]$$R[x_1,\dots ,x_n]$ 也 Noether。有限生成 $R$$R$-模的子模在 Noether 环上有限生成。此处采用交换环定义；非交换环必须区分左 Noether 与右 Noether。

直觉

Noether 性禁止理想不断出现真正新生成方向：任何无限累积最终都已由有限阶段的数据控制。

例子与边界

域、$\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 和任意域上的有限变量多项式环都是 Noether 环。无限变量多项式环 $F[x_1,x_2,\ldots]$$F[x_1,x_2,\dots ]$ 不是，因为理想链 $(x_1)\subsetneq(x_1,x_2)\subsetneq\cdots$$(x_1)⊊(x_1,x_2)⊊\cdots$ 不稳定。Noether 不表示环有限，也不表示每个理想由一个元素生成；$F[x,y]$$F[x,y]$ Noether 但 $(x,y)$$(x,y)$ 非主。子环不一定继承 Noether 性，任意无限直积也常失败。下降链条件属于 Artin 性，不应与升链条件混淆。证明某个特定升链稳定不足以证明环 Noether，需对全部理想链成立。

推论与应用

Noether 性保证代数几何中的方程组和模关系可有限描述，并支撑主分解、维数理论及有限算法终止。

参考资料

• M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969，Chs. 6–7, Noetherian rings, modules, and Hilbert basis theorem。
• Serge Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer, 2002，Part II, ascending chain condition and finite generation。