形式陈述

设 $I$$I$ 为环 $R$$R$ 的双边理想。加法商群 $R/I$$R/I$ 的元素是陪集 $a+I$$a+I$，运算定义为

$$ (a+I)+(b+I)=(a+b)+I, $$$$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,$$$$ (a+I)(b+I)=ab+I. $$$$(a+I)(b+I)=ab+I.$$

理想吸收性保证乘法良定义：若 $a-a',b-b'\in I$$a-a^{\prime },b-b^{\prime }\in I$，则

$$ ab-a'b'=a(b-b')+(a-a')b'\in I. $$$$ab-a^{\prime }{b}^{\prime }=a(b-b^{\prime })+(a-a^{\prime })b^{\prime }\in I.$$

由此 $R/I$$R/I$ 成为环；若 $R$$R$ 含幺，则 $1+I$$1+I$ 是商环单位元。$I=R$$I=R$ 时得到 $1+I=0+I$$1+I=0+I$ 的零环，是否把零环纳入含幺环类别取决于约定。

直觉

取商环就是宣布理想 $I$$I$ 中所有元素都等于零；相差一个理想元素的环元素被视为同一个。理想恰好保证这种等同与加法、乘法兼容。

例子与边界

$\mathbb Z/n\mathbb Z$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 对理想 $n\mathbb Z$$n\mathbb{Z}$ 的商。若用一个不是理想的加法子群取商，乘法可能依赖代表元而无法定义。对含幺交换环，$R/I$$R/I$ 为整环当且仅当 $I$$I$ 为素理想，为域当且仅当 $I$$I$ 为极大理想。

推论与应用

商环用于模算术、施加代数关系和构造坐标环，例如 $R[x]/(f)$$R[x]/(f)$ 强制 $f(x)=0$$f(x)=0$。自然投影 $\pi:R\to R/I$$\pi :R\to R/I$ 是满环同态，核恰为 $I$$I$。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，§7.3。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 11。