商环

取商环是在原来的计算规则中加入“$I$ 中的元素都等于零”这条关系。它没有从集合中删掉这些元素，而是把它们合并成同一个零类。例如宣布 $x^2=0$ 后，$x^3$ 也必须变成零，因为乘法仍要遵守原来的规则。

理想收集了零关系在环运算下的后果：两个零关系可以相加减，还可以在左右乘任意环元素。例如由 $x^2=0$ 可推出 $x^2(1+x)=0$；对应的 $x^2+x^3$ 正是理想 $(x^2)$ 中的元素。

理想保证代表元计算一致 ​

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是对理想 $n\mathbb{Z}$ 取商。例如模 $6$ 时，$[2][3]=[0]$，尽管 $[2]$、$[3]$ 均非零；商环并不自动保留原环的无零因子性质。

在 $R=\mathbb{Z}[x]$ 中，把常数多项式组成的加法子群 $\mathbb{Z}$ 当作“零类”就会失败：$[0]=[1]$，但 $[0][x]=[0]$ 而 $[1][x]=[x]\ne [0]$。问题是 $1$ 属于这个子群而 $x\cdot 1$ 不属于它，它不是理想。

多项式关系可以产生不同结构 ​

对任意域 $k$，双数环 $k[\epsilon ]/({\epsilon }^2)$ 的元素唯一写成 $a+b\overline{\epsilon }$，乘法为

$\overline{\epsilon }\ne 0$，因为 $\epsilon$ 不是 ${\epsilon }^2$ 的多项式倍数，但 ${\overline{\epsilon }}^2=0$。例如 $(1+\overline{\epsilon })(1-\overline{\epsilon })=1$；它保留一阶变化并抹去二阶项。

若 $\mathrm{char}k\ne 2$，映射 $[f]\mapsto (f(1),f(-1))$ 给出

原求值同态 $k[x]\to k\times k$ 的核是 $(x^2-1)$，而给定 $(u,v)$，次数至多为一的多项式 $(u+v)/2+(u-v)x/2$ 就映到它，所以映射满射。特征为 $2$ 时，两个根 $1$ 与 $-1$ 重合，且 $x^2-1=(x-1{)}^2$。此时 $[x-1]$ 是非零元素而平方为零，商环同构于前面的双数环。

自然投影 $\pi :R\to R/I$ 是满环同态理路环同态Ring homomorphism保持加法与乘法的映射；保持单位元时称为保幺环同态。，核为 $I$。更一般地，若环同态 $f:R\to S$ 满足 $I\subseteq \ker f$，则唯一存在 $\overline{f}:R/I\to S$ 使 $\overline{f}(a+I)=f(a)$。核条件恰好保证该公式良定义；这说明商环只施加指定关系及其必然后果。

取 $I=\ker f$ 就得到第一同构定理 $R/\ker f\cong \mathrm{im}f$。对含幺交换环及真理想 $I$，素理想理路素理想Prime ideal商环为整环，等价地乘积落入该理想便至少有一因子落入其中的真理想。对应商环为整环，极大理想理路极大理想Maximal ideal在真理想按包含关系中极大的理想，其商环为域。对应商环为域。模算术、扩域和代数簇坐标环因而能用同一个构造处理：例如 $R[x]/(f)$ 强制多项式关系 $f(x)=0$。