商环

取商环就是宣布理想 $I$ 中所有元素都等于零；相差一个理想元素的环元素被视为同一个。理想恰好保证这种等同与加法、乘法兼容。

商环把理想中的元素宣布为零，并把相差理想元素的环元素视为同一类。理想对任意外部乘法封闭，保证代表元改变时乘积的差仍落在理想中；这解释了为什么环只能对理想而不是任意子环取商。商环是向环中加入代数关系的标准方法。

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 对理想 $n\mathbb{Z}$ 的商。若用一个不是理想的加法子群取商，乘法可能依赖代表元而无法定义。对含幺交换环，$R/I$ 为整环当且仅当 $I$ 为素理想，为域当且仅当 $I$ 为极大理想。

商环可以制造无穷小式的幂零方向。对任意域 $k$，

中的 $\overline{\epsilon }$ 非零却满足 ${\overline{\epsilon }}^2=0$；每个元素唯一写成 $a+b\overline{\epsilon }$。另一方面，若 $\mathrm{char}k\ne 2$，则

因为 $x^2-1=(x-1)(x+1)$ 且两个因子互素。前者保留一个不可分解的幂零厚度，后者分裂成两个独立坐标，说明“施加一个多项式关系”后的结构取决于该关系是否含重因子、是否可分解。

商环用于模算术、施加代数关系和构造坐标环，例如 $R[x]/(f)$ 强制 $f(x)=0$。自然投影 $\pi :R\to R/I$ 是满环同态，核恰为 $I$。

理想公理库理想Ideal对加法成子群且吸收环乘法的子集。是环同态核，第一同构定理给出 $R/\ker f\cong \mathrm{im}f$。素理想公理库素理想Prime ideal商环为整环，等价地乘积落入该理想便至少有一因子落入其中的真理想。与 极大理想公理库极大理想Maximal ideal在真理想按包含关系中极大的理想，其商环为域。通过商环分别对应整环与域；扩域、代数簇坐标环和模多项式计算都由商环实现。