形式陈述

给定交换含幺环 $R$$R$，一元多项式环 $R[x]$$R[x]$ 可定义为有限支撑序列

$$ (a_0,a_1,a_2,\ldots), $$$$(a_0,a_1,a_2,\dots ),$$

通常写作 $f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i$$f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$。加法逐系数进行，乘法为 Cauchy 卷积：

$$ (fg)_n=\sum_{i+j=n}a_i b_j. $$$$(fg{)}_n=\sum _{i+j=n}{a}_i{b}_j.$$

符号 $x$$x$ 是形式不定元，不预先代表 $R$$R$ 中某个数。常数多项式给出含幺嵌入 $R\hookrightarrow R[x]$$R\hookrightarrow R[x]$。

直觉

多项式是有限系数表，形式幂 $x^i$$x^i$ 负责记录次数。先在纯代数层面计算，再通过求值同态把 $x$$x$ 替换为具体元素。

例子与边界

在有限环上，不同多项式可能定义同一个函数；例如在 $\mathbb F_p$${\mathbb{F}}_p$ 上，$x^p-x$$x^p-x$ 对每个元素取值都为零，却不是零多项式。因此“形式多项式相等”是系数逐项相等，不是函数值处处相等。若系数环有零因子，非零多项式次数相加公式可能失效。

推论与应用

$R[x]$$R[x]$ 用于代数方程、扩域、生成函数和代数几何。若 $R$$R$ 是整环，则 $R[x]$$R[x]$ 也是整环且 $\deg(fg)=\deg f+\deg g$$\mathrm{deg}(fg)=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g$；若 $F$$F$ 是域，则 $F[x]$$F[x]$ 具有 Euclidean 除法结构。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，§9.1。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 12。