多项式环

多项式是有限系数表，形式幂$x^i$ 负责记录次数。先在纯代数层面计算，再通过求值同态把 $x$ 替换为具体元素。多项式环把形式变量当作不满足额外关系的生成元；系数与幂次的有限组合按卷积相乘。这里的多项式首先是形式表达，而不是某个函数：在有限域上，不同多项式甚至可能诱导同一个函数。这个区分使次数、整除和商余等代数操作保持可靠。

在 $R[x]$ 中，$(a_0+a_{1}x)(b_0+b_{1}x)$ 的 $x$ 系数为 $a_0{b}_1+a_1{b}_0$。在有限环上，不同多项式可能定义同一个函数：例如在 ${\mathbb{F}}_p$ 上，形式多项式 $x^p-x$ 非零，却在每个域元素处取值为零。因此“形式多项式相等”要求系数逐项相等，不能只看函数值是否处处相等。若系数环有零因子，非零多项式的次数相加公式也可能失败，例如在 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}[x]$ 中 $(2x)(2x)=0$。

$R[x]$ 用于代数方程、扩域、生成函数和代数几何。若 $R$ 是整环，则 $R[x]$ 也是整环且 $\mathrm{deg}(fg)=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g$；若 $F$ 是域，则 $F[x]$ 具有 Euclidean 除法结构，并可进一步把每个非零多项式变成可逆元，构成有理函数域公理库有理函数Rational function · 有理式由两个多项式之商表示，并按交叉相乘关系识别相等表示的函数域元素。 $F(x)$。后一步加入的是分式等价类，不会把多项式本身改成处处有定义的商函数。

同一个形式多项式还可用 monomial、Lagrange、Newton 或 Chebyshev 基表示，代数对象不变而求值与系数恢复的数值性质可能不同；多项式插值公理库多项式插值问题Polynomial interpolation由互异节点上的有限数据唯一确定次数受限的插值多项式，并区分对象存在性与具体表示算法。比较这些表示，差商与 Newton 形式公理库差商与 Newton 插值形式Divided differences · Newton interpolation用递归差商构造可增量扩展的 Newton 插值表示，并以嵌套乘法在线性时间求值。则给出逐点增量构造。

上述求值性质是 泛性质公理库泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。的标准例子。极小多项式公理库极小多项式Minimal polynomial以给定代数元为根的首一不可约多项式。、商环公理库商环Quotient ring按理想的陪集构造的环。构造扩域以及因式分解理论都以多项式环为载体。