仿射代数集

仿射代数集把方程组当作几何对象，而不是只求一张解表。一个理想允许把方程相加、乘以任意多项式，却不改变公共零点；因此真正控制几何的不是某份生成元清单，而是它们生成的理想。再取根会丢掉方程重数，因为域中 $f(a{)}^m=0$ 与 $f(a)=0$ 等价。

映射 $I\mapsto V(I)$ 与 $X\mapsto I(X)$ 都反转包含关系。方程越多，解集越小；点越多，同时消失的多项式越少。在代数闭域上，Hilbert 零点定理说明这两个操作在根理想与代数集之间互相恢复，从而把几何问题翻译为环论问题。

在 ${\mathbb{A}}_k^2$ 中，

是抛物线；它由参数 $a\mapsto (a,a^2)$ 描述。集合

是两条坐标轴之并，因此可约。尖点

由 $t\mapsto (t^2,t^3)$ 参数化，在原点出现奇异性；点集公式看似简单，坐标环却会检测到其非正规性质。

底域是否代数闭会改变理想与点集的对应。实数域上的真理想 $(x^2+1)\subset \mathbb{R}[x]$ 没有实零点，因此

尽管理想不是单位理想。有限域也会把许多不同多项式识别为相同函数：在 ${\mathbb{F}}_q$ 上，$x^q-x$ 在每个点都为零，所以 $V(x^q-x)={\mathbb{A}}_{{\mathbb{F}}_q}^1$，但 $(x^q-x)\ne (0)$。这些例子说明强零点定理必须假设代数闭域。

“仿射簇”一词有两种常见约定：有的教材专指不可约代数集，有的泛指约化有限型仿射对象。为避免歧义，本条目只使用“仿射代数集”，并把不可约性另行说明。

代数集还依赖底域，而不仅依赖方程的字符。把 $k$ 扩大到扩域 $K$ 后，同一组方程给出

它可能出现原先没有的点或分支。例如 $x^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上无点，在 $\mathbb{C}$ 上却给出两个点。所谓“几何点”常指在代数闭包上的点；所谓“$k$-有理点”则只取坐标属于 $k$ 的点，二者不应混写。

坐标变换也说明定义不依赖方程表面的形状。仿射线性自同构把多项式通过代入拉回，并把零点集双射到另一个代数集；抛物线可以换坐标却不会因此改变其内在坐标环。真正不变量来自理想及其商，而不是某一幅平面图。

代数集 $X$ 的坐标环定义为 $k[X]=k[x_1,\dots ,x_n]/I(X)$。多项式函数在 $X$ 上相同，当且仅当其差属于 $I(X)$，所以坐标环精确记录 $X$ 上的正则多项式函数。$X$ 不可约当且仅当 $I(X)$ 为素理想，当且仅当 $k[X]$ 为整环；这种三方对应把几何分支转成素理想分解。

多项式映射 $F:X\to Y$ 由坐标多项式给出，并反向诱导 $k$-代数同态

因此仿射代数集的几何方向与坐标环同态方向相反。Hilbert 基定理保证 $k[x_1,\dots ,x_n]$ Noether，故任何代数集可由有限多个方程定义，且其闭子集降链最终稳定；这是有限型代数几何能够以有限数据工作的根本原因。