仿射代数集

仿射代数集研究方程组全部解组成的几何形状。若一个点使给定方程全部为零，它也使这些方程的多项式线性组合为零，所以将方程族换成它们生成的理想，公共零点保持不变。再把理想换成其根理路理想的根Radical of an ideal · 根理想收集某次幂落入给定理想的元素，并抹去商环中全部幂零信息所得的根理想。也保持零点，因为域中 $f(a{)}^m=0$ 等价于 $f(a)=0$。

映射 $I\mapsto V(I)$ 与 $X\mapsto I(X)$ 都反转包含关系。方程越多，解集越小；点越多，同时消失的多项式越少。在代数闭域上，Hilbert 零点定理理路Hilbert 零点定理Hilbert Nullstellensatz · 零点定理在代数闭域上把多项式理想的公共零点与其根理想精确对应起来的定理。说明这两个操作在根理想与代数集之间互相恢复，从而把几何问题翻译为环论问题。

以下三个曲线例子取 $k$ 为代数闭域。在 ${\mathbb{A}}_k^2$ 中，

是抛物线；它由参数 $a\mapsto (a,a^2)$ 描述。集合

是两条坐标轴之并，因此可约。尖点

由 $t\mapsto (t^2,t^3)$ 参数化，在原点有尖点。对应坐标环是 $k[t^2,t^3]$：它包含 $t$ 的二次、三次幂，却不包含 $t$ 本身。这个缺失的参数将在整闭包中被补入。

同一组方程在不同底域上可以有不同的解。实数域上的真理想 $(x^2+1)\subset \mathbb{R}[x]$ 没有实零点，因此

而在 $\mathbb{C}$ 上，同一方程有 $i,-i$ 两个零点。一般地，扩大底域 $k\subseteq K$ 后，可在 $K^n$ 中求同一族方程的解；坐标属于 $k$ 的解称为 $k$-有理点，取代数闭包中的坐标则得到几何点。

在有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 上，$x^q-x$ 在每个元素处为零，所以 $V(x^q-x)={\mathbb{A}}_{{\mathbb{F}}_q}^1$，但 $(x^q-x)\ne (0)$。因此从所有 ${\mathbb{F}}_q$-有理点上的取值无法恢复形式多项式；代数闭域上的零点定理则精确控制了理想与零点集的对应。

多项式坐标变换能改变嵌入的形状而保持内在代数结构。例如令 $u=x$、$v=y-x^2$，逆变换为 $x=u$、$y=v+u^2$。抛物线 $y=x^2$ 在新坐标下成为直线 $v=0$；两个方向的映射都是多项式，因此两者作为仿射代数集同构。

代数集 $X$ 的坐标环理路坐标环Coordinate ring · Affine coordinate ring将仿射代数集上的多项式函数按逐点相等识别后得到的有限生成约化代数。定义为 $k[X]=k[x_1,\dots ,x_n]/I(X)$。多项式函数在 $X$ 上相同，当且仅当其差属于 $I(X)$，所以坐标环精确记录 $X$ 上的正则多项式函数。这里称 $X$ 不可约，是指 $X$ 非空且不能写成两个真闭子集之并。$X$ 不可约当且仅当 $I(X)$ 为素理想，当且仅当 $k[X]$ 为整环；这种三方对应把几何分支转成素理想分解。

多项式映射 $F:X\to Y$ 由坐标多项式给出，并反向诱导 $k$-代数同态

因此仿射代数集的几何方向与坐标环同态方向相反。Hilbert 基定理理路Hilbert 基定理Hilbert basis theoremNoether 环上添有限多个多项式变量仍保持 Noether 性的有限生成定理。保证 $k[x_1,\dots ,x_n]$ Noether，故任何代数集可由有限多个方程定义，且其闭子集降链最终稳定；这是有限型代数几何能够以有限数据工作的根本原因。