坐标环

坐标环把几何对象变成其上的可观测函数。空间中的点无法区分在所有点取值相同的两个多项式，因此要除以消失理想；商类 $[f]$ 就是一项真正定义在 $X$ 上的多项式函数。加法与乘法逐点进行，函数的代数结构于是记录了 $X$ 的几何。

这种翻译会反转箭头。多项式映射 $F:X\to Y$ 让 $Y$ 上的函数沿 $F$ 拉回：

反过来，每个幺 $k$-代数同态都由坐标函数的像确定，并给出相反方向的多项式映射。因而研究仿射对象可以转化为研究有限生成约化代数，但必须记住态射方向相反。

以下取 $k$ 为代数闭域。仿射直线的坐标环是 $k[{\mathbb{A}}^1]=k[t]$。抛物线

满足

所以它作为仿射代数集与直线同构；映射 $t\mapsto (t,t^2)$ 在坐标环一侧对应 $x\mapsto t,y\mapsto t^2$。

两坐标轴之并 $V(xy)$ 的坐标环是 $k[x,y]/(xy)$。其中 $\overline{x}\overline{y}=0$，故有零因子；这正对应空间可分成两个真闭分支。尖点 $V(y^2-x^3)$ 的坐标环同构于

它是整环，却不整闭；坐标环由此区分了“不可约”与“无奇异”这两种完全不同的性质。

边界在于“由方程给出的商”和“同一点集的坐标环”未必相同。若先给理想 $J$，商 $k[x]/J$ 可以带幂零元；经典点集 $V(J)$ 的坐标环却是 $k[x]/I(V(J))$。在代数闭域上后者等于 $k[x]/\sqrt{J}$。例如 $k[x]/(x^2)$ 非约化，而单点 $V(x^2)=\{0\}$ 的经典坐标环是 $k[x]/(x)\cong k$。概形理论会保留前者的幂零厚度，经典代数集则不会。

同一个代数集可以嵌入不同维数的仿射空间，呈现截然不同的方程。坐标环消除了这种外在选择：抛物线在平面中的商环与直线的一元多项式环同构，所以二者内在同构。反过来，一旦给出有限生成约化 $k$-代数，选择一组代数生成元会把它嵌入某个仿射空间；更换生成元只更换呈示，不更换代数本身。

几何性质可通过坐标环判别：$X$ 不可约当且仅当 $k[X]$ 是整环；$X$ 的不可约分支对应 $k[X]$ 的极小素理想；闭子集 $Y\subseteq X$ 对应 $k[X]$ 的根理想 $I_X(Y)$。一点 $a\in X$ 在代数闭域上对应极大理想

而在该极大理想处局部化得到点 $a$ 的局部环。

Hilbert 基定理公理库Hilbert 基定理Hilbert basis theoremNoether 环上添有限多个多项式变量仍保持 Noether 性的有限生成定理。保证 $k[X]$ Noether，因为它是有限变量多项式环的商。这使闭子集由有限方程切出，并让理想分解与维数理论在有限数据上运行。坐标环的分式域在 $X$ 不可约时给出有理函数域；其超越次数等于 $X$ 的 Krull 维数，为参数个数提供内在而非依赖嵌入的定义。