坐标环

坐标环记录代数集上的多项式函数。两个表达式若在每个点取值相同，就表示同一个函数；除以消失理想正是完成这种识别。商类 $[f]$ 的加法与乘法逐点进行，因而可以用环运算研究点集上的函数关系。

这种翻译会反转箭头。多项式映射 $F:X\to Y$ 让 $Y$ 上的函数沿 $F$ 拉回：

反过来，保幺 $k$-代数同态 $\phi :k[Y]\to k[X]$ 由 $Y$ 的坐标函数的像确定。把这些像作为 $X$ 上的坐标多项式，就得到映射 $F:X\to Y$；$Y$ 的定义关系在同态下仍为零，保证像点落在 $Y$ 中。在代数闭域上，这给出仿射代数集与有限生成约化交换 $k$-代数之间的反向对应。

以下取 $k$ 为代数闭域。仿射直线的坐标环是 $k[{\mathbb{A}}^1]=k[t]$。抛物线

满足

所以它作为仿射代数集与直线同构；映射 $t\mapsto (t,t^2)$ 在坐标环一侧对应 $x\mapsto t,y\mapsto t^2$。

两坐标轴之并 $V(xy)$ 的坐标环是 $k[x,y]/(xy)$。其中 $\overline{x}\overline{y}=0$，故有零因子；这正对应空间可分成两个真闭分支。尖点 $V(y^2-x^3)$ 的坐标环同构于

它是整环，却不包含满足首一方程 $T^2-t^2=0$ 的分式 $t=t^3/t^2$，所以不整闭；其整闭包理路整闭包Integral closure · Normalization of a domain给定扩环中所有在基环上整的元素所成的子环，以及由此定义的整闭性质。在同一分式域中补入 $t$，得到 $k[t]$。这条曲线不可约，但原点仍是奇异点；完整的多项式函数结构比“是否有零因子”保留了更多信息。

对于任意多项式理想 $J$，代数闭域上的零点定理给出 $k[V(J)]=k[x_1,\dots ,x_n]/\sqrt{J}$，其中 $\sqrt{J}$ 是理想的根理路理想的根Radical of an ideal · 根理想收集某次幂落入给定理想的元素，并抹去商环中全部幂零信息所得的根理想。。例如 $V(x^2)=\{0\}$ 的坐标环是 $k[x]/(x)\cong k$，而直接对给定方程取商得到的 $k[x]/(x^2)$ 还含非零幂零元 $[x]$。概形保留这个平方为零的元素，经典点集的坐标环则按逐点相等把它识别为零。

坐标环的生成元决定一种仿射嵌入。例如 $k[t]$ 用生成元 $t$ 表示时得到直线；改用 $t,t^2$，就得到带关系 $y=x^2$ 的平面抛物线。一般地，为有限生成约化 $k$-代数选择生成元，会给出多项式环到它的满射；这个映射的核提供相应代数集的方程。

在代数闭域上，$X$ 不可约当且仅当 $k[X]$ 是整环，$X$ 的不可约分支对应 $k[X]$ 的极小素理想，闭子集 $Y\subseteq X$ 对应根理想 $I_X(Y)$。一点 $a\in X$ 对应极大理想

而在该极大理想处作局部化理路素理想处的局部化Localization at a prime ideal · Local ring at a prime把素理想之外的全部元素变为单位，从而只保留该点以下素理想信息的局部化。，得到点 $a$ 的局部环。

Hilbert 基定理理路Hilbert 基定理Hilbert basis theoremNoether 环上添有限多个多项式变量仍保持 Noether 性的有限生成定理。保证 $k[X]$ Noether，因为它是有限变量多项式环的商。这使闭子集由有限方程切出，并让理想分解与维数理论在有限数据上运行。坐标环的分式域在 $X$ 不可约时给出有理函数域；其超越次数等于 $X$ 的Krull 维数理路Krull 维数Krull dimension以素理想严格包含链长度的上确界度量交换环的代数维数。，为参数个数提供内在而非依赖嵌入的定义。

若目标是研究局部最低阶关系或正规化纤维，便不能先把方程理想换成根理想。尖点切锥理路切锥与关联分次环Tangent cone · Associated graded tangent cone · 方案论切锥逐层保留局部函数的消失阶，证明切锥的全部最低齐次关系呈示，并用五维商环证明原生成元初项可能漏掉关键关系。的结构环为 $k[X,Y]/(Y^2)$，尽管其约化点集只是一条直线。导子与正规化纤维理路有限双有理扩张的导子理想Conductor ideal of a finite birational extension · Conductor ideal · 有限双有理扩张的导理想用同时属于两个环的最大理想定位有限正规化的变化位置，计算尖点与节点的导子、商空间和完整纤维环，并证明有限模条件不可删。又给 $k[t]/(t^2)$ 和 $k\times k$ 两种同为二维的有限环：前者有幂零厚度，后者有两个分离分量。这些是概形结构环的计算，不改变本页经典点集坐标环必约化的定义。