Hilbert 零点定理

包含 $\sqrt{I}\subseteq I(V(I))$ 很直接：若 $f^m\in I$，那么在 $V(I)$ 的每一点都有 $f(a{)}^m=0$，域中便有 $f(a)=0$。深刻之处是反向包含：若一个多项式在 $I$ 的全部共同零点上消失，那么这种几何消失一定能由一个有限幂的代数成员关系解释。

弱形式依赖 Zariski 引理：若一个域是 $k$ 上的有限生成代数，那么它其实是 $k$ 的有限代数扩张理路域扩张Field extension一个域作为另一域子域时形成的包含关系与相应向量空间结构。；当 $k$ 代数闭时，只能等于 $k$。对极大理想理路极大理想Maximal ideal在真理想按包含关系中极大的理想，其商环为域。 $\mathfrak{m}$，商 $R/\mathfrak{m}$ 因而等于 $k$，坐标类给出点 $a$，从而 $\mathfrak{m}={\mathfrak{m}}_a$。这一步解释了代数闭假设如何把抽象极大理想变成熟悉坐标点。

在 $k[x,y]$ 中取

其零点集只有 $(0,0)$，所以

另一方面 $x^2\in I$ 给出 $x\in \sqrt{I}$，而 $y=(y-x)+x$ 也在根中，故 $(x,y)\subseteq \sqrt{I}$；反向因 $I\subseteq (x,y)$ 且后者为根理想，得到等号。原商环满足 $[y]=[x]$、$[x{]}^2=0$，保留了沿直线 $y=x$ 的一阶幂零信息；取点集再取消失理想后，只剩普通原点。

强形式可由弱形式通过 Rabinowitsch 技巧推出。若 $f$ 在 $V(I)$ 上消失但 $f\notin \sqrt{I}$，在扩大的多项式环 $R[t]$ 中考虑

$J$ 必为真理想：若 $1=\sum _i{h}_i(t)g_i+h(t)(1-tf)$，其中 $g_i\in I$，在局部化理路环的局部化Localization of rings把指定乘法闭集中的元素形式地变为可逆元所得的环。 $R_f$ 中代入 $t=1/f$，最后一项变为零；再乘以足够高次的 $f$ 清除分母，就会得到 $f^N\in I$，与假设矛盾。弱形式给出 $J$ 的共同零点 $(a,b)$，于是 $a\in V(I)$ 导致 $f(a)=0$，但 $1-bf(a)=0$ 又要求 $1=0$，矛盾。

在 $\mathbb{R}[x]$ 中，真理想 $(x^2+1)$ 没有实零点，因而 $I(V_{\mathbb{R}}(x^2+1))=\mathbb{R}[x]$，与其根 $(x^2+1)$ 不同。在有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 上，取 $I=(0)$，则 $V(I)={\mathbb{F}}_q$，非零多项式 $x^q-x$ 属于 $I(V(I))$，却不属于 $\sqrt{(0)}$。这两个计算展示了底域缺少代数闭性时，零点信息怎样偏离理想。

强形式也包含弱形式：若 $V(I)=\varnothing$，则常数 $1$ 在这个空集上消失，故 $1\in I(V(I))=\sqrt{I}$，从而 $I=R$。所以真理想必有零点；结合上面的增添变量论证，两个形式可以互相推出。

零点定理把几何包含变成理想包含：

它还给出不可约性判据：代数集 $X$ 不可约当且仅当 $I(X)$ 是素理想。由此，几何分支对应极小素理想，闭点对应极大理想，维数对应素理想链；仿射代数几何的基本字典由同一个定理支撑。

无解方程组可用一个理想成员等式作代数证书。例如 $xy-1=0$ 与 $x^2=0$ 没有共同零点，并且

若某个点同时使两个生成式为零，右侧就为零，与左侧矛盾。零点定理保证每个无解多项式系统都有这样的证书；有效零点定理进一步研究证书系数的次数界，Gröbner 基等方法则用于实际寻找它。