域扩张

域扩张把“在原数系中解不出的方程”放进一个更大的运算世界。$x^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 中没有根，加入一个满足 $i^2=-1$ 的新元素后得到 $\mathbb{C}$。关键不是随意添加符号，而是扩张后的加、减、乘、除都保持封闭，同时原域中的运算关系完全不变。

把 $E$ 看成 $F$ 上的向量空间后，新增元素可以用一组基坐标描述。扩张次数衡量这种描述需要多少个 $F$-坐标。二次扩张中的每个元素只需两个坐标；高次扩张则需要更多方向。域论由此获得线性代数的维数、基与线性无关工具。

“有限生成”与“有限维”回答不同问题。有限生成只问是否能从有限个新元素通过域运算得到整个扩张；有限维还要求所有元素都落在有限个 $F$-线性方向中。一个超越元就能生成 $F(t)$，但它的所有幂仍然线性无关，所以扩张次数无限。

复数域是实数域的二次扩张：

基可取 $\{1,i\}$，每个复数唯一写成 $a+bi$。这里 $i$ 的极小多项式是 $x^2+1$。

同样，

是 $\mathbb{Q}$ 的二次扩张。乘法后出现的 $(\sqrt{2}{)}^2$ 可重新化为 $2$，逆元也留在同一形式中。例如

这不是只验证一个特殊分式；一般元素 $a+b\sqrt{2}$ 的逆可通过与共轭 $a-b\sqrt{2}$ 相乘得到，只要原元素非零。

超越扩张的行为不同。$\mathbb{Q}(t)$ 由一个元素 $t$ 生成，但

在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关，因此

它展示了“单扩张”并不蕴含“有限扩张”。相反，若 $\alpha$ 是代数元，则 $F(\alpha )/F$ 的次数等于 $\alpha$ 的极小多项式公理库极小多项式Minimal polynomial以给定代数元为根的首一不可约多项式。次数。

$\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ 也是无限次扩张。若次数有限为 $n$，则 $\mathbb{R}$ 作为 ${\mathbb{Q}}^n$ 的像只能是可数集，与实数不可数矛盾。这个论证只排除有限次数，并不意味着所有无限扩张都具有同一种基数大小。

子域条件不能弱化成集合包含。$F$ 的单位元必须与 $E$ 的单位元一致，逆元也必须在 $F$ 中。若一个子集公理库子集Subset · Set inclusionA 的每个元素都属于 B 时成立的包含关系；它在集合之间形成偏序。只对加法和乘法封闭，却缺少非零元素的逆，它至多是子环，不是子域。

若 $f\in F[x]$ 不可约，则商环

是域。令 $\bar{x}$ 表示 $x$ 的剩余类，就有 $f(\bar{x})=0$。因此，商构造给出一种严格的“加入一个根”的方法，而不是假设所需根已经存在。

加入一个根未必使多项式完全分解。继续添加剩余根，直到多项式化为一次因子的乘积，得到分裂域公理库分裂域Splitting field使给定多项式完全分裂且由其全部根生成的最小扩域。。分裂域把方程的全部根放进同一个最小环境，为比较根之间的代数对称提供基础。

塔式定理公理库扩张次数与塔式定理Extension degree · Tower law · 扩域次数以向量空间维数度量域扩张，并将一座有限扩张塔的次数分解为逐层次数之积。控制逐层扩张：若 $F\subseteq K\subseteq E$，且相关次数有限，则

它使“分阶段添根”的总复杂度可以相乘计算，也给出尺规作图中的次数障碍。例如，只允许连续二次扩张时，最终可构造数的次数必须是二的幂。

有限域 ${\mathbb{F}}_{p^n}$ 可以从 ${\mathbb{F}}_p$ 上的 $n$ 次不可约多项式构造。域扩张次数在这里同时决定向量空间维数与元素总数：

更深一层，Galois 群公理库伽罗瓦群Galois group固定基域的扩域自同构在复合下形成的群。记录扩张中保持基域不动的自同构。域扩张把“方程有哪些根”转化为一个对象，Galois 理论再把“这些根如何被对称地置换”转化为群。