形式陈述

若域 $F$$F$ 作为子域嵌入域 $E$$E$，则称 $E/F$$E/F$ 为域扩张。通过 $F$$F$ 的标量乘法，$E$$E$ 是 $F$$F$-向量空间，其维数

$$ [E:F]=\dim_F E $$$$[E:F]={\dim }_{F}E$$

称为扩张次数；有限维时称有限扩张。若 $F\subseteq K\subseteq E$$F\subseteq K\subseteq E$ 且相关次数有限，塔式定理给出 $[E:F]=[E:K][K:F]$$[E:F]=[E:K][K:F]$。对集合 $S\subseteq E$$S\subseteq E$，$F(S)$$F(S)$ 是包含 $F\cup S$$F\cup S$ 的最小子域。扩张可以是代数的、超越的、正规或可分的，这些是不同性质。单有集合包含 $F\subseteq E$$F\subseteq E$ 不够，还必须运算兼容并使 $F$$F$ 成为子域。

直觉

域扩张是在不改变旧域运算的前提下加入新元素；向量空间次数衡量新域需要多少个旧域系数才能描述。

例子与边界

$\mathbb C/\mathbb R$$\mathbb{C}/\mathbb{R}$ 的次数为 $2$$2$，基可取 $\{1,i\}$$\{1,i\}$；$\mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q$$\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ 也为二次扩张。$\mathbb R/\mathbb Q$$\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ 是无限次扩张。有限集合生成不保证有限扩张：$\mathbb Q(t)$$\mathbb{Q}(t)$ 由一个超越元生成，却对 $\mathbb Q$$\mathbb{Q}$ 无限维。反之，有限扩张必由有限多个元素生成。记号 $E/F$$E/F$ 不表示商域，而表示包含关系。塔式公式要求把维数视为基数时可更一般处理，但常用乘法公式在有限次数情形最直接。子域的单位元必须与大域相同；不采用这一约定会破坏标准扩张理论。

推论与应用

域扩张提供“加入方程根”的精确环境，连接多项式、有限域和 Galois 群；次数与塔式定理是控制构造规模的基本工具。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 13, field extensions and degree。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 13, extensions, generated fields, and tower law。