可分扩张

形式陈述 ​

设 $\alpha$ 在域 $F$ 上代数。若其最小多项式公理库极小多项式Minimal polynomial以给定代数元为根的首一不可约多项式。 $m_{\alpha }(x)$ 在代数闭包中没有重根，则称 $\alpha$ 在 $F$ 上可分。代数扩张 $E/F$ 中每个元素都在 $F$ 上可分时，称 $E/F$ 为可分扩张。

对任意非零多项式 $f\in F[x]$，它没有重根当且仅当

$$gcd(f,f^{\prime })=1,$$

因为重根同时是 $f$ 与其形式导数 $f^{\prime }$ 的根。不可约多项式若满足 $f^{\prime }\ne 0$，其最大公因式只能是 $1$，故可分。在特征零中，非恒定不可约多项式的导数不可能为零，所以所有代数扩张都可分；有限域也都是完美域，因而其代数扩张可分。一般地，域 $F$ 称为完美域，若它的每个代数扩张都可分。

直觉 ​

次数 $[F(\alpha ):F]$ 计算代数元带来的坐标自由度，而可分性保证这些自由度对应同样多的不同共轭像。若最小多项式的根重合，若干本应不同的嵌入会塌缩成同一个；扩张仍可能有正次数，却缺少足够的对称变换。可分性因此控制“共轭有几个不同位置”，正规性则控制“这些位置是否都在当前域内”。

例子与边界 ​

令 $F={\mathbb{F}}_p(t)$。多项式 $f(x)=x^p-t$ 在 $F[x]$ 中不可约，因为 $t$ 不是 $F$ 中元素的 $p$ 次方；但 $f^{\prime }(x)=p{x}^{p-1}=0$。在代数闭包中，若 $\alpha =t^{1/p}$，则 $f(x)=(x-\alpha {)}^p$，只有一个不同的根。于是 $F(\alpha )/F$ 的次数为 $p$，却是不可分的纯不可分扩张。这里“导数为零”不表示 $f$ 是常数：特征 $p$ 使 $x^p$ 等各指数为 $p$ 倍数的项求导后消失。

作为对照，有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 上 Frobenius 映射 $x\mapsto x^p$ 是有限集上的单射，因而满射；每个元素都有 $p$ 次根，不会出现上述由系数缺少 $p$ 次根造成的不可分障碍。不要把“不可约多项式总无重根”搬到任意域，这个结论恰好需要完美性。

推论与应用 ​

有限可分扩张具有本原元：在通常的有限情形可写成 $E=F(\alpha )$，其不同 $F$-嵌入数等于扩张次数。可分性与正规性公理库正规扩张Normal extension · 正规域扩张一个不可约多项式的根一旦进入扩域，其全部共轭根便都留在其中的代数扩张。合在一起定义Galois 扩张公理库Galois 扩张Galois extension · 伽罗瓦扩张同时正规且可分的代数扩张，使扩张次数与域自同构对称性在有限情形精确配平。，使自同构数目与次数配平。判据 $gcd(f,f^{\prime })=1$ 还给出了计算多项式平方自由部分、检测重根和判断有限扩张可分性的直接算法。

参考资料

• The Stacks Project, Fields, sections on separable and purely inseparable extensions.
• Serge Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer, 2002, Ch. V, separability and purely inseparable extensions.