分裂域

分裂域是在不加入多余元素的前提下，让给定多项式全部分解成一次因子的最小扩域。它不是随便找一个包含所有根的大域，而是由这些根生成；因而成为观察根的全部对称性的最小舞台。多项式“在某域中分裂”与扩张“可分”是不同概念，重根问题需另行检查。

$x^2-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域为 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$。$x^3-2$ 仅加入实根 $\sqrt[3]{2}$ 还不够，因为另两根含三次单位根 ${\zeta }_3$；分裂域为 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},{\zeta }_3)$。前者是正规扩张公理库正规扩张Normal extension · 正规域扩张一个不可约多项式的根一旦进入扩域，其全部共轭根便都留在其中的代数扩张。，而只加入 $\sqrt[3]{2}$ 的扩张不是，因为共轭根仍在域外。$x^p-t$ 在正特征中可能有重根，但仍有分裂域。所谓“最小”是指由根生成或在给定代数闭包中的包含最小；不同环境中的分裂域未必作为集合相等，只保证 $F$-同构。分裂域的次数不一定等于多项式次数，也不一定由一个根生成。

对 $f(x)=x^4-2\in \mathbb{Q}[x]$，令 $\alpha =\sqrt[4]{2}$。四个根为 $\pm \alpha ,\pm i\alpha$，故分裂域是

$\mathbb{Q}(\alpha )$ 是实的四次扩张，仍缺少 $i\alpha$；再加入 $i$ 后次数变为 $8$。分裂域由全部根生成，但其次数不必等于多项式次数，也不必等于各个单根扩张次数的乘积；不同根之间可能共享已有的域信息。

分裂域是有限正规扩张公理库正规扩张Normal extension · 正规域扩张一个不可约多项式的根一旦进入扩域，其全部共轭根便都留在其中的代数扩张。的基本来源；若所分裂的多项式还可分，便得到Galois 扩张公理库Galois 扩张Galois extension · 伽罗瓦扩张同时正规且可分的代数扩张，使扩张次数与域自同构对称性在有限情形精确配平。，其Galois 群公理库伽罗瓦群Galois group固定基域的扩域自同构在复合下形成的群。忠实地置换根。Galois 理论基本定理公理库伽罗瓦理论基本定理Fundamental theorem of Galois theory有限伽罗瓦扩张的中间域与伽罗瓦群子群之间存在反序对应。由此连接根的对称、中间域与子群，并用于有限域公理库有限域Finite field · Galois field底层集合有限的域。和方程可解性。