形式陈述

对 $f(x)\in F[x]$$f(x)\in F[x]$，扩域 $E/F$$E/F$ 称为 $f$$f$ 的分裂域，若 $f$$f$ 在 $E[x]$$E[x]$ 中分解为一次因子乘积，且 $E$$E$ 由 $f$$f$ 的全部根在 $F$$F$ 上生成。每个非常数多项式都有分裂域；任意两个分裂域之间存在保持 $F$$F$ 中元素不动的域同构，因此在 $F$$F$-同构意义下唯一。分裂域是有限扩张，因为可逐个邻接有限多个代数根。它不要求多项式无重根；可分性控制根是否互异，而非分裂域是否存在。若 $f$$f$ 已在 $F$$F$ 中分裂，其分裂域就是 $F$$F$。

直觉

分裂域只加入让多项式所有根同时出现所必需的元素，不多也不少；它是观察多项式全部根对称性的最小舞台。

例子与边界

$x^2-2$$x^2-2$ 在 $\mathbb Q$$\mathbb{Q}$ 上的分裂域为 $\mathbb Q(\sqrt2)$$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$。$x^3-2$$x^3-2$ 仅加入实根 $\sqrt[3]2$$\sqrt[3]{2}$ 还不够，因为另两根含三次单位根 $\zeta_3$${\zeta }_3$；分裂域为 $\mathbb Q(\sqrt[3]2,\zeta_3)$$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},{\zeta }_3)$。$x^p-t$$x^p-t$ 在正特征中可能有重根，但仍有分裂域。所谓“最小”是指由根生成或在给定代数闭包中的包含最小；不同环境中的分裂域未必作为集合相等，只保证 $F$$F$-同构。分裂域的次数不一定等于多项式次数，也不一定由一个根生成。

推论与应用

分裂域使 Galois 群能置换全部根，并把多项式可解性、正规扩张和有限域构造统一到一个环境中。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 13, splitting fields, existence, and uniqueness。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 13, adjoining roots and normal extensions。