Galois 扩张

一个保持 $F$ 不动的域嵌入，必须把每个元素送到它在 $F$ 上的极小多项式理路极小多项式Minimal polynomial以给定代数元为根的首一不可约多项式。的某个根。这些根称为共轭根。可分性使根彼此不同，在有限扩张中提供与扩张次数同样多的 $F$-嵌入 $E\to \bar{F}$；正规性则保证每个嵌入的像都是 $E$。两项结合，这些嵌入就成为 $E$ 的全部 $F$-自同构。

因此判断 Galois 性时，要同时检查根的重数与所在位置。$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 和 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 都没有重根问题，区别在于前者包含生成元的全部共轭根，后者缺少两个非实根。

二次根与三次根为什么不同 ​

在 $E=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 中，生成元的极小多项式 $x^2-2$ 有两个不同的根 $\sqrt{2},-\sqrt{2}$，都在 $E$ 中，因此 $E$ 是这个可分多项式的分裂域。每个保持 $\mathbb{Q}$ 不动的自同构必须把 $\sqrt{2}$ 送到其中一个根；两个选择都给出自同构：

第二个映射保持乘法，是因为把 $\sqrt{2}$ 换成 $-\sqrt{2}$ 后，关系 $(\sqrt{2}{)}^2=2$ 仍成立；加法的保持可直接由公式看出。所以自同构数为 $2=[E:\mathbb{Q}]$。

换成 $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$，$x^3-2$ 的另两个根含有非实三次单位根，而 $L\subset \mathbb{R}$。因此它可分却不正规；唯一能落在 $L$ 内的生成元像是 $\sqrt[3]{2}$ 本身，于是只有恒等自同构，数量 $1$ 小于扩张次数 $3$。

可分性与有限性的边界 ​

有限域扩张 ${\mathbb{F}}_{q^n}/{\mathbb{F}}_q$ 是 Galois 扩张。所有有限域都是完美域，所以扩张可分；${\mathbb{F}}_{q^n}$ 又是 $x^{q^n}-x$ 在 ${\mathbb{F}}_q$ 上的分裂域，所以正规。Frobenius 自同构 $\phi (x)=x^q$ 固定 ${\mathbb{F}}_q$，且 ${\phi }^n=\mathrm{id}$；它生成一个阶为 $n$ 的循环 Galois 群，恰与扩张次数相等。

纯不可分扩张 ${\mathbb{F}}_p(t^{1/p})/{\mathbb{F}}_p(t)$ 展示另一种缺失。生成元的极小多项式 $x^p-t=(x-t^{1/p}{)}^p$ 只有一个不同的根，故只有一个基域嵌入，而扩张次数为 $p$。这个扩张正规却不可分，因此不是 Galois。

无限情形仍使用“代数、正规、可分”的定义。例如 $\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$ 是 Galois 扩张。无限 Galois 对应理路无限 Galois 对应Infinite Galois correspondence · Krull topology · Krull 拓扑以有限子扩张上的限制定义 Krull 拓扑，证明中间域与闭子群反序对应，并在有限域代数闭包中显式构造稠密真 Frobenius 子群。给其群配上 Krull 拓扑，将中间域对应到闭子群；该页由相容的有限限制构造全局自同构，并在有限域代数闭包中展示整数次 Frobenius 构成稠密真子群的现象。

Galois 理论基本定理理路伽罗瓦理论基本定理Fundamental theorem of Galois theory有限伽罗瓦扩张的中间域与群的子群反序对应，并由八阶二面体群完整算出四次根分裂域的十个中间域。把有限 Galois 扩张的中间域与 Galois 群理路伽罗瓦群Galois group固定基域的扩域自同构在复合下形成的群。的子群反向对应，并将域次数转成群指数。子群越大，被它的所有自同构固定的元素越少，对应的中间域就越小。这个对应把寻找子域的问题转化为寻找子群的问题。

回到三次根的例子，令 $a=\sqrt[3]{2}$、$\omega =e^{2\pi i/3}$。补入 $\omega$ 后，$\mathbb{Q}(a,\omega )$ 包含 $x^3-2$ 的全部根 $a,a\omega ,a{\omega }^2$，又由这些根生成，因为 $\omega =(a\omega )/a$。它因此是分裂域，也就是一个 Galois 扩张。原来的可分性已经成立；这一步补全的是共轭根，从而取得正规性。

设 $L/K$ 为有限 Galois 数域扩张，$\mathfrak{p}\subset {\mathcal{O}}_K$ 为未分歧非零素理想，并选定上方素理想 $\mathfrak{P}\subset {\mathcal{O}}_L$。令 $q=|{\mathcal{O}}_K/\mathfrak{p}|$，剩余域 ${\mathcal{O}}_L/\mathfrak{P}$ 上的 $q$ 次幂映射唯一提升为分解群中的算术Frobenius 元素理路未分歧素数的 FrobeniusFrobenius automorphism at an unramified prime未分歧时剩余域 p 次幂映射唯一提升为 Galois 元素，解释共轭类依赖并从三次多项式的模素分解读出循环型。。换上方素理想只改变共轭代表，因此只给定 $\mathfrak{p}$ 时一般得到共轭类。

当基域为 $\mathbb{Q}$、$\mathfrak{p}=(p)$ 时，$q=p$，正是链接页采用的约定。对本页的三次根分裂域，模 5 的因子次数 1、2 与模 7 的次数 3 分别给出换位类和三循环类。

循环扩张可选怎样的生成元 ​

有限 Galois 扩张并不都循环；若其群确实由一个 $\sigma$ 生成，就能用 Hilbert 90理路Hilbert 90 与循环差方程Hilbert's theorem 90 · Multiplicative and additive Hilbert 90 · 循环扩张的范数一方程在一般有限循环扩张中，以可终止的加权自同构和构造范数一及迹零方程的全部解，处理特征整除次数和辅助输入消失。构造满足指定单步作用的元素。当 $[L:K]=n$、特征不整除 $n$ 且基域已有本原 $n$ 次单位根 $\zeta$ 时，Kummer 构造理路Kummer 扩张与幂类证书Cyclic Kummer extensions · Kummer power classes · 循环 Kummer 扩张在基域含本原单位根时，以参数幂类的阶认证添根次数，以循环子群和生成元转换认证两个添根域相同。给出 $L=K(\alpha )$、$\sigma (\alpha )=\zeta \alpha$，因而 ${\alpha }^n\in K$。当特征与扩张次数同为素数 $p$ 时，Artin–Schreier 构造理路Artin–Schreier 扩张与极点约化Artin-Schreier cyclic extensions · Artin–Schreier classes and pole reduction · 阿廷–施赖尔扩张用正特征加法类认证循环添根和同域转换，在素域有理函数的单极点输入上给出终止约化、唯一规范剩余及不可约证明。改为 $\sigma (\alpha )=\alpha +1$，从而 ${\alpha }^p-\alpha \in K$。两种条件下都得到 $n$ 或 $p$ 个不同共轭，才足以认证这个元素生成整个扩张；仅写出一个基域中的幂关系并不保证次数已达到目标。