Galois 扩张

形式陈述 ​

代数域扩张 $E/F$ 同时是正规扩张公理库正规扩张Normal extension · 正规域扩张一个不可约多项式的根一旦进入扩域，其全部共轭根便都留在其中的代数扩张。和可分扩张公理库可分扩张Separable extension · 可分域扩张扩张中每个代数元的最小多项式都没有重根，从而保留足够多的不同共轭嵌入。时，称为 Galois 扩张。保持 $F$ 中每个元素不动的 $E$ 的域自同构组成群

$$\mathrm{Gal}(E/F)={\mathrm{Aut}}_F(E),$$

称为扩张的 Galois 群。若 $[E:F]<\mathrm{\infty }$，则总有 $|{\mathrm{Aut}}_F(E)|\le [E:F]$，并且以下条件等价：$E/F$ 为 Galois；$|{\mathrm{Aut}}_F(E)|=[E:F]$；$E$ 是 $F$ 上某个可分多项式的分裂域。这里“自同构数等于次数”是有限扩张的刻画，不是无限 Galois 扩张的定义。

直觉 ​

正规性保证一个元素的所有共轭根都没有逃出 $E$，可分性保证这些根彼此不同。两项同时成立时，基域嵌入不但存在得足够多，而且每一个都成为 $E$ 自身的置换；于是扩张的代数信息能够转写为一个对称群。少了正规性，嵌入会跑到别的共轭域；少了可分性，多个潜在嵌入会因重根而合并。

例子与边界 ​

有限域扩张 ${\mathbb{F}}_{q^n}/{\mathbb{F}}_q$ 是 Galois 扩张。所有有限域都是完美域，所以扩张可分；${\mathbb{F}}_{q^n}$ 又是 $x^{q^n}-x$ 在 ${\mathbb{F}}_q$ 上的分裂域，所以正规。Frobenius 自同构 $\phi (x)=x^q$ 固定 ${\mathbb{F}}_q$，且 ${\phi }^n=\mathrm{id}$；它生成一个阶为 $n$ 的循环 Galois 群，恰与扩张次数相等。

纯不可分扩张 ${\mathbb{F}}_p(t^{1/p})/{\mathbb{F}}_p(t)$ 虽正规，却不可分，唯一的基域嵌入是恒等映射，而扩张次数为 $p$，因此不是 Galois。另一方面，$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 可分却不正规，同样不是 Galois。无限情形如 $\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$ 仍按“代数、正规、可分”定义为 Galois；其自同构群需要 Krull 拓扑，不能用有限基数等式替代结构定义。

推论与应用 ​

Galois 理论基本定理公理库伽罗瓦理论基本定理Fundamental theorem of Galois theory有限伽罗瓦扩张的中间域与伽罗瓦群子群之间存在反序对应。把有限 Galois 扩张的中间域与 Galois 群的子群反向对应，并将域次数转成群指数。多项式的根式可解性、有限域子域结构和经典尺规作图问题都由此转化为群结构问题。Galois 群公理库伽罗瓦群Galois group固定基域的扩域自同构在复合下形成的群。页研究具体对称群；本页则先固定这些对称能够完整反映扩张的精确前提。

参考资料

• The Stacks Project, Fields, Definition of Galois extensions and finite Galois characterizations.
• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004, Ch. 14, Galois extensions and automorphism groups.