伽罗瓦理论基本定理

群越大，必须同时固定的对称越多，不动元素越少；因此子群包含关系在转成中间域时反向。正规子群则允许商群在中间域上形成完整对称。Galois 对应把“中间域中固定了哪些元素”与“Galois 群中允许哪些对称”反向配对。域越大，被要求逐点固定的自同构越少；子群越大，其公共不动点越少。正规性决定中间域能否在所有对称下保持，商群则记录剩余扩张的对称。

对双二次扩张 $E=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$，Galois 群同构于 $C_2\times C_2$，三个阶 $2$ 子群分别对应三个二次中间域 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$、$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$、$\mathbb{Q}(\sqrt{6})$。对 $S_3$ 型分裂域，非正规阶 $2$ 子群对应的三次中间域不在 $F$ 上 Galois。定理的有限、正规、可分假设不能省略；对非 Galois 扩张，子群与中间域不再一一对应。每个中间域 $K$ 上的 $E/K$ 仍是 Galois，但 $K/F$ 是否 Galois 取决于相应子群正规性。双射不是保持包含，而是严格反向。令 $E=\mathbb{Q}({\zeta }_5)$，其中 ${\zeta }_5$ 是本原五次单位根。其 Galois 群为

自同构由 ${\zeta }_5\mapsto {\zeta }_5^a$ 给出。唯一的阶 $2$ 子群由复共轭生成，它固定

故对应的中间域是实二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$。阶数公式给出该固定域对 $\mathbb{Q}$ 的次数为 $4/2=2$；该子群正规，因此中间扩张也是 Galois，Galois 群同构于商群 $C_4/C_2\cong C_2$。这个例子把“子群越大，固定域越小”以及正规子群对应 Galois 中间扩张同时算了出来。

该定理把中间域格完整翻译成 Galois 群子群格，使域次数公理库扩张次数与塔式定理Extension degree · Tower law · 扩域次数以向量空间维数度量域扩张，并将一座有限扩张塔的次数分解为逐层次数之积。、正规性和自同构商群都可用有限群结构计算。它建立域扩张公理库域扩张Field extension一个域作为另一域子域时形成的包含关系与相应向量空间结构。与Galois 群公理库伽罗瓦群Galois group固定基域的扩域自同构在复合下形成的群。的反序对应，并用正规子群公理库正规子群Normal subgroup在全群共轭下保持不变、因而可作为同态核并形成商群的子群。判定中间扩张的 Galois 性，从而把多项式根式可解性、有限域子域和经典作图问题转化为群论条件。