形式陈述

设 $E/F$$E/F$ 为有限 Galois 扩张，$G=\operatorname{Gal}(E/F)$$G=\mathrm{Gal}(E/F)$。对任意子群 $H\le G$$H\le G$，定义不动域

$$ E^H=\{x\in E:\sigma(x)=x\text{ 对所有 }\sigma\in H\}; $$$$E^H=\{x\in E:\sigma (x)=x\text{ 对所有 }\sigma \in H\};$$

对任意中间域 $F\subseteq K\subseteq E$$F\subseteq K\subseteq E$，定义 $\operatorname{Gal}(E/K)$$\mathrm{Gal}(E/K)$。Galois 基本定理断言

$$ H\longmapsto E^H,\qquad K\longmapsto\operatorname{Gal}(E/K) $$$$H⟼E^H,K⟼\mathrm{Gal}(E/K)$$

给出包含反向的互逆双射，并有 $[E:E^H]=|H|$$[E:E^H]=|H|$、$[E^H:F]=[G:H]$$[E^H:F]=[G:H]$。此外 $K/F$$K/F$ 为 Galois 当且仅当 $\operatorname{Gal}(E/K)\trianglelefteq G$$\mathrm{Gal}(E/K)⊴G$，此时

$$ \operatorname{Gal}(K/F)\cong G/\operatorname{Gal}(E/K). $$$$\mathrm{Gal}(K/F)\cong G/\mathrm{Gal}(E/K).$$

直觉

群越大，必须同时固定的对称越多，不动元素越少；因此子群包含关系在转成中间域时反向。正规子群则允许商群在中间域上形成完整对称。

例子与边界

对双二次扩张 $E=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$$E=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$，Galois 群同构于 $C_2\times C_2$$C_2\times C_2$，三个阶 $2$$2$ 子群分别对应三个二次中间域 $\mathbb Q(\sqrt2)$$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$、$\mathbb Q(\sqrt3)$$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$、$\mathbb Q(\sqrt6)$$\mathbb{Q}(\sqrt{6})$。对 $S_3$$S_3$ 型分裂域，非正规阶 $2$$2$ 子群对应的三次中间域不在 $F$$F$ 上 Galois。定理要求 $E/F$$E/F$ 有限、正规且可分；对非 Galois 扩张，子群与中间域不再一一对应。每个中间域 $K$$K$ 上的 $E/K$$E/K$ 仍是 Galois，但 $K/F$$K/F$ 是否 Galois 取决于相应子群正规性。双射不是保持包含，而是严格反向。

推论与应用

该定理把中间域格完整翻译成 Galois 群子群格，使域次数、正规性和自同构商群都可用有限群结构计算。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 14, fundamental theorem of Galois theory。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 14, Galois correspondence and normal subgroups。