可解群

阿贝尔化 $G/G^{\prime }$ 描述群中可以交换的第一层信息，$G^{\prime }$ 则收集商去时消去的交换误差。接着研究 $G^{\prime }$ 自身，再取它的阿贝尔化 $G^{\prime }/G^{″}$，就得到第二层。可解性要求这一过程在有限步后处理完全部元素。

从子群列反向看，可解群由阿贝尔群逐层扩张而成。层内的商运算交换，层与层之间仍可有非平凡共轭作用。例如 $S_3$ 的三阶旋转子群与二阶商群都阿贝尔，翻折却会把旋转方向反转，整个群因此非交换。导出长度记录这种分层需要多少步。

阿贝尔群的导出长度至多为 $1$，其中平凡群的长度为 $0$。对称群 $S_3$ 满足 $S_3^{\prime }=A_3\cong C_3$、$A_3^{\prime }=\{e\}$，导出长度为 $2$。

$S_4$ 的导出列为

相邻商依次同构于 $C_2$、$C_3$ 和 $V_4$，全部阿贝尔。第一步中，符号同态给出 $S_4^{\prime }\le A_4$；交换子 $[(12),(23)]=(132)$ 的共轭生成全部三循环，故 $S_4^{\prime }=A_4$。第二步中，$A_4/V_4$ 三阶，所以 $A_4^{\prime }\le V_4$；而 $[(123),(124)]=(12)(34)$，再经 $(123)$ 共轭得到另外两个双换位，故 $A_4^{\prime }=V_4$。最后 $V_4$ 阿贝尔，所以导出长度恰好为 $3$。

当 $n\ge 5$ 时，$A_n$ 是非阿贝尔单群理路单群Simple group除平凡子群和自身外没有正规子群的非平凡群。。它的交换子群是非平凡正规子群，只能等于自身，故导出列停在 $A_n$，$A_n$ 不可解。由于可解群的子群仍可解，包含它的 $S_n$ 也不可解。

$A_5$ 也展示了生成子群与正规扩张的差别。它由三循环生成，每个三循环单独生成一个三阶阿贝尔子群，合起来却得到非可解的 $A_5$。扩张的封闭性依赖于正规子群和相应商群都可解，而任意一组可解子群的生成过程没有这一条件。

可解群也可以无限。实直线仿射群的元素写成 $(b,a)$，表示 $x\mapsto ax+b$，其中 $a\ne 0$。平移子群 $T=\{(b,1):b\in \mathbb{R}\}$ 阿贝尔，商群同构于乘法群 ${\mathbb{R}}^{\times }$，也阿贝尔。于是 $G^{\prime }\le T$；而伸缩 $(0,2)$ 与平移 $(b,1)$ 的交换子正好是 $(b,1)$，所以 $G^{\prime }=T$，导出长度为 $2$。

可解性对子群与商群理路商群Quotient group将正规子群压成单位元后，在其陪集商集上诱导出的群。封闭。若 $H\le G$，逐层有 $H^{(i)}\le G^{(i)}$；若 $\pi :G\to Q$ 满射，则 $\pi (G^{(i)})=Q^{(i)}$。因此 $G$ 的导出列到达平凡群时，子群和商群的导出列也到达平凡群。

扩张同样保持可解性。若 $N⊴G$，$N$ 的导出长度为 $a$，$G/N$ 的导出长度为 $b$，则 $G^{(b)}\le N$，再取 $a$ 次交换子群就得到 $G^{(a+b)}=\{e\}$。

例如平凡群可解；非平凡有限 $p$-群由类方程理路类方程Class equation of a finite group将有限群按共轭类分拆，以中心大小与中心化子指数表达群的阶。有非平凡中心，可以选取中心内的 $p$ 阶正规子群。对阶数更小的商群归纳，再应用扩张的封闭性，就证明了所有有限 $p$-群可解。

在 Galois 理论中，特征零域上的多项式可用根式求解，当且仅当其分裂域的 Galois 群理路伽罗瓦群Galois group固定基域的扩域自同构在复合下形成的群。可解。这把逐层添加根式的问题转化为群的阿贝尔分层，与Galois 理论基本定理理路伽罗瓦理论基本定理Fundamental theorem of Galois theory有限伽罗瓦扩张的中间域与群的子群反序对应，并由八阶二面体群完整算出四次根分裂域的十个中间域。中的域与子群对应相连接。一般五次方程的 Galois 群为 $S_5$，其不可解性解释了通用根式公式的缺失；具有可解 Galois 群的特定五次方程仍可用根式求解。

有限群的阶也能迫使可解性成立。Burnside 定理断言，阶为 $p^a{q}^b$ 的群可解，其中 $p,q$ 为素数、$a,b$ 为非负整数；Feit–Thompson 定理断言奇数阶有限群可解。因此非阿贝尔有限单群必须有偶数阶，且其阶至少含三个不同的素因数。