形式陈述

群 $G$$G$ 的导出列定义为

$$ G^{(0)}=G,\qquad G^{(i+1)}=[G^{(i)},G^{(i)}]. $$$$G^{(0)}=G,G^{(i+1)}=[G^{(i)},G^{(i)}].$$

若存在有限 $n$$n$ 使 $G^{(n)}=1$$G^{(n)}=1$，则称 $G$$G$ 可解。等价地，$G$$G$ 有一条有限次正规列

$$ 1=G_n\trianglelefteq G_{n-1}\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq G_0=G $$$$1=G_n⊴G_{n-1}⊴\cdots ⊴G_0=G$$

且每个商 $G_i/G_{i+1}$$G_i/G_{i+1}$ 为阿贝尔群。可解群的子群与商群仍可解；若 $N\trianglelefteq G$$N⊴G$ 且 $N$$N$ 与 $G/N$$G/N$ 都可解，则 $G$$G$ 可解。导出长度是达到平凡群所需的最少步数。

直觉

可解群允许把非交换性分层剥去：每取一次交换子群，就只保留上一层无法交换的部分；有限次后若全部消失，群由阿贝尔层逐级拼成。

例子与边界

所有阿贝尔群导出长度至多 $1$$1$。$S_3' = A_3$$S_3^{\prime }=A_3$ 且 $A_3'=1$$A_3^{\prime }=1$，所以 $S_3$$S_3$ 可解；$S_4$$S_4$ 也可解。对 $n\ge5$$n\ge 5$，$A_n$$A_n$ 是非阿贝尔单群，故其交换子群是自身，不能可解。有限 $p$$p$-群都可解，但“可解”不等于“阿贝尔”或“幂零”。一个群含有不可解子群便不可解；反之，存在可解正规子群和可解商才可推出整体可解，任意两个可解子群的生成群未必自动满足所需扩张条件。术语源自多项式可由根式求解与其 Galois 群可解之间的联系。

推论与应用

可解性组织有限群、置换群与 Galois 理论中的分层结构，并把复杂群归约为一串阿贝尔扩张。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 6, derived series and solvable groups。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 6, solvability and group extensions。