可解群

换位子群 $[G,G]$ 恰好收集了群中"不交换"的全部证据：商 $G/[G,G]$ 是把 $G$ 强行阿贝尔化后剩下的部分。可解性于是在问一个自然的问题——非交换性是不是有限层的？每取一次换位子群，就剥掉一层可交换的外壳，只留下更深处仍在纠缠的元素；若剥有限次后一无所剩，群就完全由阿贝尔层逐级搭成。这一图像也解释了名称的来历：一个多项式能否用根式逐层求解，对应其对称群能否分解成这样一串阿贝尔台阶——每邻接一次根式恰好对应一层阿贝尔商。需要提防的第一印象是把"可解"当成"接近阿贝尔"：可解群的非交换性可以任意复杂，只是复杂得有限、可分层而已。

阿贝尔群的导出长度至多为 $1$（平凡群为 $0$）。对称群 $S_3$ 满足 $S_3^{\prime }=A_3\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 而 $A_3^{\prime }=1$，导出长度为 $2$。$S_4$ 也可解：其导出列为 $S_4⊵A_4⊵V_4⊵1$，相邻商依次同构于 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 与 Klein 四元群，全为阿贝尔群，导出长度为 $3$。有限 $p$-群都幂零，从而可解。

分水岭出现在 $n\ge 5$：此时 $A_n$ 是非阿贝尔单群公理库单群Simple group除平凡子群和自身外没有正规子群的非平凡群。，其换位子群是非平凡正规子群，只能等于自身，导出列停在 $A_n$ 不再下降，故 $A_n$ 不可解；由于可解群的子群仍可解，$S_n$（$n\ge 5$）也随之不可解。另外两条常见边界：其一，"可解"严格弱于"幂零"与"阿贝尔"——$S_3$ 可解但不幂零；其二，两个可解子群生成的群未必可解，例如 $A_5$ 可由两个循环（从而阿贝尔）子群生成，所以可解性没有"由可解子群生成即可解"这样的封闭性，必须借助正规性才能拼装。

可解性对子群、商群公理库商群Quotient group将正规子群压成单位元后，在其陪集商集上诱导出的群。与扩张封闭：可解群的子群与商群仍可解；若 $N⊴G$ 且 $N$ 与 $G/N$ 都可解，则 $G$ 可解，导出长度不超过两者之和。这使“由阿贝尔群经有限次扩张搭成”成为可解群的精确结构描述。它最著名的应用在 Galois 理论：特征零域上多项式可用根式求解当且仅当其 Galois 群公理库伽罗瓦群Galois group固定基域的扩域自同构在复合下形成的群。可解（见Galois 理论基本定理公理库伽罗瓦理论基本定理Fundamental theorem of Galois theory有限伽罗瓦扩张的中间域与伽罗瓦群子群之间存在反序对应。），$S_5$ 不可解解释了一般五次方程为何没有根式公式。在有限群论中，Burnside 定理断言阶为 $p^a{q}^b$ 的群可解，Feit–Thompson 定理断言奇数阶有限群可解；二者都对非阿贝尔有限单群的可能阶施加强约束。