半直积

半直积把两个群拼成一个整体，每个元素仍能由两个因子唯一写出，但它们不再像直积那样完全独立、逐点交换。正规因子 $N$ 保持稳定，另一个因子 $H$ 在“越过”它时会先通过共轭施加一个自动同构；作用同态 $H\to \mathrm{Aut}(N)$ 正是这份受控的非交换耦合，给定它以后，整个半直积的乘法规则也随之确定。

$S_3\cong C_3⋊C_2$：$C_2$ 的非单位元通过取逆作用于 $C_3$。二面体群 $D_{2n}\cong C_n⋊C_2$ 也由反射把旋转取逆。若作用平凡，同一底层集合给出 $C_3\times C_2\cong C_6$；非平凡作用给出非阿贝尔 $S_3$。条件 $N\cap H=1$ 与 $G=NH$ 保证每个元素唯一写成 $nh$，但若 $N$ 不正规，就不能由 $H$ 对 $N$ 的共轭得到所需作用。半直积分解不必唯一，且并非每个短正合列都分裂为半直积。乘法公式的左右约定随文献可能变化，必须与所选作用方向一致。

内部半直积分解要求 $N⊴G$、$H\le G$、$N\cap H=1$ 且 $NH=G$，从而把一个 正规子群公理库正规子群Normal subgroup在全群共轭下保持不变、因而可作为同态核并形成商群的子群。及其商方向重新组合成整体；共轭产生的 群作用公理库群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。同时记录扩张如何分裂。这个构造描述二面体群、仿射群、置换群和分裂群扩张，也用于晶体群、可解群公理库可解群Solvable group导出列在有限步后降为平凡群的群。以及协议中的对称结构。