形式陈述

给定群同态 $\varphi:H\to\operatorname{Aut}(N)$$\phi :H\to \mathrm{Aut}(N)$，外部半直积 $N\rtimes_\varphi H$$N{⋊}_{\phi }H$ 的底层集合为 $N\times H$$N\times H$，乘法为

$$ (n,h)(n',h')=(n\,\varphi(h)(n'),\,hh'). $$$$(n,h)(n^{\prime },h^{\prime })=(n\phi (h)(n^{\prime }),h{h}^{\prime }).$$

其中 $N\times\{e\}$$N\times \{e\}$ 是正规子群，$\{e\}\times H$$\{e\}\times H$ 是子群，交平凡且乘积为全群。内部形式为：若 $G=NH$$G=NH$、$N\trianglelefteq G$$N⊴G$、$N\cap H=1$$N\cap H=1$，则共轭作用 $hnh^{-1}$$hn{h}^{-1}$ 给出 $G\cong N\rtimes H$$G\cong N⋊H$；这里 $H$$H$ 无需正规。若作用 $\varphi$$\phi$ 平凡，则乘法退化为直积。不同作用即使因子相同，也可能产生不同群。

直觉

半直积仍由两个因子唯一写出元素，但第二个因子在越过第一个因子时会先对它施加一个自动同构；这正是“独立并排”与“受控耦合”的差别。

例子与边界

$S_3\cong C_3\rtimes C_2$$S_3\cong C_3⋊C_2$：$C_2$$C_2$ 的非单位元通过取逆作用于 $C_3$$C_3$。二面体群 $D_{2n}\cong C_n\rtimes C_2$$D_{2n}\cong C_n⋊C_2$ 也由反射把旋转取逆。若作用平凡，同一底层集合给出 $C_3\times C_2\cong C_6$$C_3\times C_2\cong C_6$；非平凡作用给出非阿贝尔 $S_3$$S_3$。条件 $N\cap H=1$$N\cap H=1$ 与 $G=NH$$G=NH$ 保证每个元素唯一写成 $nh$$nh$，但若 $N$$N$ 不正规，就不能由 $H$$H$ 对 $N$$N$ 的共轭得到所需作用。半直积分解不必唯一，且并非每个短正合列都分裂为半直积。乘法公式的左右约定随文献可能变化，必须与所选作用方向一致。

推论与应用

半直积描述仿射群、二面体群、置换群和分裂群扩张，是把正规子群与商群重新组合成整体的基本方法。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 5, semidirect products and split extensions。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 6, group actions and semidirect constructions。