群的直积 | Codeboy's Blog

形式陈述

给定群 $G$ 与 $H$ ，它们的外直积是在笛卡尔积 $G\times H$ 上定义逐坐标运算：

(g,h)(g',h')=(gg',hh').

单位元为 $(e_G,e_H)$ ，逆元为 $(g,h)^{-1}=(g^{-1},h^{-1})$ ；结合律也逐坐标继承，所以 $G\times H$ 是群。坐标投影

p_G:G\times H\to G,\quad(g,h)\mapsto g, \qquad p_H:G\times H\to H,\quad(g,h)\mapsto h

都是满群同态。映射 $g\mapsto(g,e_H)$ 与 $h\mapsto(e_G,h)$ 则把两个因子分别嵌入直积。

这两个嵌入像

G_0=G\times\{e_H\},\qquad H_0=\{e_G\}\times H

都是正规子群，满足 $G_0\cap H_0=\{(e_G,e_H)\}$ 、 $G_0H_0=G\times H$ ，并且两者逐元素交换。反过来，若群 $K$ 含正规子群 $N,M$ ，且

K=NM,\qquad N\cap M=\{e\},

则 $nm=mn$ ：交换子 $nmn^{-1}m^{-1}$ 同时属于 $N$ 与 $M$ ，只能是 $e$ 。于是

N\times M\longrightarrow K,\qquad(n,m)\longmapsto nm

是同构，称 $K$ 是 $N,M$ 的内部直积。

直觉

直积把两套群动作并排运行。第一坐标怎样变化不影响第二坐标的乘法，反之亦然；投影可以分别读出两项信息，而嵌入可以只启动一个因子。所谓“独立”并非日常语言中的统计独立，而是严格体现在逐坐标运算和两个因子的逐元素交换上。

外直积从已知的 $G,H$ 构造新群；内部直积则在一个既有群中识别这两套坐标。条件 $K=NM$ 保证每个元素都能写成 $nm$ ，交集平凡保证这种写法唯一，正规性保证两个方向不通过共轭互相扭曲。若扭曲存在，结构通常变为半直积。

有限多个因子的直积与直和没有差别。对无限族 $(G_i)_{i\in I}$ ，直积 $\prod_iG_i$ 允许每个坐标任意取值；受限直积或直和 $\bigoplus_iG_i$ 要求仅有有限多个坐标偏离单位元。二者的底层集合已经不同，逐坐标运算不足以把它们视作同一对象。

例子与边界

$C_2\times C_2$ 有四个元素，三个非单位元都为二阶； $C_4$ 也有四个元素，却含四阶元。因此群的阶相同并不推出群同构，元素阶分布能立刻区分这两个群。

对有限循环群，

C_m\times C_n\ \text{循环} \quad\Longleftrightarrow\quad \gcd(m,n)=1.

元素 $(a,b)$ 的阶是 $\operatorname{lcm}(|a|,|b|)$ ，最大不超过 $\operatorname{lcm}(m,n)$ ；它等于群阶 $mn$ 恰好在 $m,n$ 互素时可能发生。于是 $C_4\times C_9\cong C_{36}$ ，而 $C_4\times C_6$ 不循环，因为任何元素的阶至多为 $12<24$ 。

整数模 $6$ 的加法群内部包含唯一的二阶子群 $\{0,3\}$ 和唯一的三阶子群 $\{0,2,4\}$ 。两者交于 $0$ ，和覆盖全群，所以

\mathbb Z/6\mathbb Z\cong C_2\times C_3.

这就是内部直积：两个周期方向已经藏在同一个循环群中。

条件不能随意删减。若只有 $K=NM$ 与 $N\cap M=\{e\}$ ，但仅 $N$ 正规，乘法仍可能受 $M$ 对 $N$ 的共轭作用扭曲，得到非平凡半直积； $S_3\cong C_3\rtimes C_2$ 是最小的典型例子。若两个子群都正规，则逐元素交换不需另作假设，因为它已由平凡交集推出。

推论与应用

有限情形有 $|G\times H|=|G|\,|H|$ 。若 $g,h$ 都有有限阶，则

\operatorname{ord}(g,h)=\operatorname{lcm}(\operatorname{ord}(g),\operatorname{ord}(h))

若任一坐标具有无穷阶，则 $(g,h)$ 也具有无穷阶。中心、交换子和阿贝尔化同样逐坐标分解，例如 $Z(G\times H)=Z(G)\times Z(H)$ 。两个坐标互不干扰才推出这些等式；集合基数相乘本身不够。

在有限生成阿贝尔群结构定理中，直积把循环的素数幂因子组合成完整群；在群扩张中，内部直积判据识别一个扩张何时完全没有扭曲。若存在非平凡共轭作用，就转向半直积。

直积还是群范畴中的积对象：给定同态 $f:X\to G$ 与 $g:X\to H$ ，存在唯一同态

\langle f,g\rangle:X\to G\times H,\qquad x\mapsto(f(x),g(x))

同时满足 $p_G\langle f,g\rangle=f$ 、 $p_H\langle f,g\rangle=g$ 。这个泛性质用所有射入映射的行为唯一刻画直积，坐标公式则给出它的具体实现。

参考资料

David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004, §5.1.
Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011, Chapter 2.

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