群的直积

直积把两套群动作并排运行。第一坐标怎样变化不影响第二坐标的乘法，反之亦然；投影可以分别读出两项信息，而嵌入可以只启动一个因子。先执行 $(g,e_H)$ 再执行 $(e_G,h)$，与反过来都得到 $(g,h)$，这就是两个方向彼此独立的具体含义。

外直积从已知的 $G,H$ 构造新群；内部直积则在一个既有群中识别这两套坐标。条件 $K=NM$ 保证每个元素都能写成 $nm$。若 $nm=n^{\prime }{m}^{\prime }$，则 $n^{\prime -1}n=m^{\prime }{m}^{-1}\in N\cap M$，平凡交集便保证表示唯一。两个子群都正规又使它们逐元素交换，因此相乘时可以把两个 $N$ 因子、两个 $M$ 因子分别合并。

有限多个因子的直积与直和相同。对无限族 $(G_i{)}_{i\in I}$，直积 $\prod _i{G}_i$ 允许每个坐标任意取值，有限支撑子群 $\underset{i}{⨁}{G}_i$ 则要求仅有有限多个坐标偏离单位元。例如在加法群 $\prod _{i\ge 1}{C}_2$ 中，序列 $(1,1,1,\dots )$ 是一个元素，却不属于 $\underset{i\ge 1}{⨁}{C}_2$。二者都逐坐标相加，差别在于允许哪些序列。

$C_2\times C_2$ 有四个元素，三个非单位元都为二阶；$C_4$ 也有四个元素，却含四阶元。因此群的阶相同并不推出群同构，元素阶分布能立刻区分这两个群。

对有限循环群，

元素 $(a,b)$ 的阶是 $\mathrm{lcm}(|a|,|b|)$，最大不超过 $\mathrm{lcm}(m,n)$；它等于群阶 $mn$ 恰好在 $m,n$ 互素时可能发生。于是 $C_4\times C_9\cong C_{36}$，而 $C_4\times C_6$ 不循环，因为任何元素的阶至多为 $12<24$。

整数模 $6$ 的加法群内部包含唯一的二阶子群 $\{0,3\}$ 和唯一的三阶子群 $\{0,2,4\}$。两者交于 $0$，和覆盖全群，所以

这就是内部直积：两个周期方向已经藏在同一个循环群中。

在 $S_3$ 中取 $N=⟨(123)⟩$ 和 $M=⟨(12)⟩$。每个元素仍唯一写成 $nm$，但只有 $N$ 正规；$(12)(123)(12{)}^{-1}=(132)$ 表明两个方向相互影响。因此这里得到 $C_3⋊C_2$ 的半直积。相同因子的直积 $C_3\times C_2\cong C_6$ 是阿贝尔群，与 $S_3$ 的乘法不同。

有限情形有 $|G\times H|=|G||H|$。若 $g,h$ 都有有限阶，则

若任一坐标具有无穷阶，则 $(g,h)$ 也具有无穷阶。中心也逐坐标分解：

因为 $(g,h)$ 与所有 $(g^{\prime },h^{\prime })$ 交换，恰好要求 $g$ 与全部 $g^{\prime }$ 交换，且 $h$ 与全部 $h^{\prime }$ 交换。交换子同样逐坐标计算，由此得到 $(G\times H{)}^{\prime }=G^{\prime }\times H^{\prime }$ 以及 $(G\times H{)}^{\mathrm{ab}}\cong G^{\mathrm{ab}}\times H^{\mathrm{ab}}$。

在有限生成阿贝尔群结构定理中，直积把无限循环因子和有限的素数幂阶循环因子组合成完整群。对于已经分裂的群扩张，可以先写成半直积理路半直积Semidirect product由一个群对另一群的作用扭曲直积运算得到的群构造。 $N⋊H$；当 $H$ 对 $N$ 的共轭作用平凡时，这一分解就是直积。

直积还是群范畴中的积对象：给定同态 $f:X\to G$ 与 $g:X\to H$，存在唯一同态

同时满足 $p_G⟨f,g⟩=f$、$p_H⟨f,g⟩=g$。这个泛性质用所有射入映射的行为唯一刻画直积，坐标公式则给出它的具体实现。