形式陈述

给定群 $G,H$$G,H$，直积 $G\times H$$G\times H$ 在笛卡尔积上逐坐标运算：

$$ (g,h)(g',h')=(gg',hh'),\qquad (g,h)^{-1}=(g^{-1},h^{-1}). $$$$(g,h)(g^{\prime },h^{\prime })=(g{g}^{\prime },h{h}^{\prime }),(g,h{)}^{-1}=(g^{-1},h^{-1}).$$

单位元为 $(e_G,e_H)$$(e_G,e_H)$，坐标投影是满同态。子群 $G\times\{e_H\}$$G\times \{e_H\}$ 与 $\{e_G\}\times H$$\{e_G\}\times H$ 都正规、交为平凡群且彼此逐元素交换。反之，若群 $K$$K$ 含正规子群 $N,M$$N,M$，满足 $K=NM$$K=NM$、$N\cap M=1$$N\cap M=1$，则乘法映射 $N\times M\to K$$N\times M\to K$ 是同构；这称为内部直积。任意族群还可取无限直积，其元素允许每个坐标任意非单位值。

直觉

直积把两个独立群并排运行：每个坐标只按自己的规则变化，两个因子之间没有扭曲作用。

例子与边界

$C_2\times C_2$$C_2\times C_2$ 有三个非单位元且每个阶为 $2$$2$，因此不与循环群 $C_4$$C_4$ 同构。$\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$${\mathbb{Z}}_m\times {\mathbb{Z}}_n$ 在 $\gcd(m,n)=1$$gcd(m,n)=1$ 时同构于 $\mathbb Z_{mn}$${\mathbb{Z}}_{mn}$，不互素时一般不循环。仅有 $K=NM$$K=NM$ 和 $N\cap M=1$$N\cap M=1$ 而没有两者正规，通常得到半直积而非直积；若 $N,M$$N,M$ 都正规，则交换性由交换子同时落在交中推出。无限直积不同于直和：后者通常要求只有有限多个坐标非单位。直积群的阶在有限情形为 $|G||H|$$|G||H|$。

推论与应用

直积构造复杂群、描述独立对称性和分解有限阿贝尔群；投影与内部直积判据也为泛性质和积对象提供代数原型。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 5, direct products and internal decompositions。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 2, product groups and decompositions。