形式陈述

从群 $(G,\ast)$$(G,\ast )$ 到群 $(H,\circ)$$(H,\circ )$ 的映射 $\varphi:G\to H$$\phi :G\to H$ 若满足

$$ \varphi(a\ast b)=\varphi(a)\circ\varphi(b) $$$$\phi (a\ast b)=\phi (a)\circ \phi (b)$$

对所有 $a,b\in G$$a,b\in G$ 成立，就称为群同态。

直觉

同态允许改变元素的表示，却不改变“先组合再映射”和“先映射再组合”的结果。

例子与边界

$\varphi:\mathbb Z\to\mathbb Z_n$$\phi :\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_n$，$k\mapsto k\bmod n$$k\mapsto kmodn$ 是加法群同态。任意集合映射并非同态；保持运算是关键约束。双射同态称同构。

推论与应用

同态的核是正规子群，像是子群；第一同构定理把 $G/\ker\varphi$$G/\ker \phi$ 与 $\operatorname{im}\varphi$$\mathrm{im}\phi$ 联系起来。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., §3.1.
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., §2.7.