群同态

同态允许改变元素的名称和表示，却不改变组合规则。“先在 $G$ 中运算再映射”和“先映射到 $H$ 再运算”给出同一结果，所以任何只由乘法、单位元与逆元写成的关系都会随同态传到目标群。

核和像从两侧描述信息流。核收集所有被压成单位元的输入；若 $\phi (a)=\phi (b)$，则

所以 $a^{-1}b\in \ker \phi$，反向也成立。把映到同一目标值的所有输入称为该值的纤维。若这个值是 $\phi (a)$，上述等价关系表明纤维恰为 $a\ker \phi$，即核的一个陪集。目标值若不在像中，纤维则为空；“每条纤维是陪集”只针对非空纤维。像则是目标群中真正能够到达的部分；陪域可以比像大，不能从公式本身默认满射。

同态不要求保持元素的字面形态，也不要求保持全部信息。满同态可以压缩结构，单同态可以把结构嵌入更大群；只有同时单射和满射时，两个群才在运算意义下没有区别。

自然映射

取 $n\ge 1$，其中 $\overline{k}$ 表示 $k$ 的模 $n$ 剩余类。因为 $\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}$，它保持加法；每个类都有整数代表元，故满射；只有 $n$ 的倍数被送到零类，故核为 $n\mathbb{Z}$。这三项分别回答“是否保运算”“能到达哪里”和“合并了哪些输入”。

同一个目标群也可能只接收到部分元素。例如 $\psi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$、$\psi (k)=\overline{2k}$ 仍保加法，但像只有 $\{\overline{0},\overline{2},\overline{4}\}$。求核就是解 $6\mid 2k$，等价于 $3\mid k$，所以核为 $3\mathbb{Z}$。因此 $1,4,7$ 都映到 $\overline{2}$，这条纤维正是 $1+3\mathbb{Z}$；$\overline{1}$ 的纤维为空。

对域 $F$ 及整数 $n\ge 1$，行列式

由行列式的乘法性理路行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。知它保持乘法，其核是 ${\mathrm{SL}}_n(F)$。满射性可由对角矩阵 $\mathrm{diag}(a,1,\dots ,1)$ 直接看出；这个同态把矩阵乘法中的大量非交换信息压缩成一个可交换的标量。

固定 $g\in G$，共轭映射 $c_g(x)=gx{g}^{-1}$ 满足 $c_g(x)c_g(y)=gx(g^{-1}g)y{g}^{-1}=c_g(xy)$，且逆映射为 $c_{g^{-1}}$。因此它是从 $G$ 到自身的双射同态，称为自同构。映射 $g\mapsto c_g$ 又给出 $G\to \mathrm{Aut}(G)$ 的同态，核恰是中心 $Z(G)$。这说明群的内部共轭对称本身也由同态组织。

任意集合映射不一定是同态。$f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$、$f(k)=k+1$ 不保持加法，因为 $f(0)=1\ne 0$。映射 $q:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$、$q(k)=2k$ 是单同态，却不是满同态；若把陪域改为 $2\mathbb{Z}$，同一个公式才成为同构。映射的类型包含陪域，不能只看表达式。

同态单射当且仅当核平凡。若核只有 $e$，由 $\phi (a)=\phi (b)$ 得 $a^{-1}b=e$，所以 $a=b$；反向则由单射和 $\phi (g)=e_H=\phi (e_G)$ 得 $g=e_G$。同态满射当且仅当像等于陪域。双射同态称为同构，其逆映射自动保持群运算。

若 $G=⟨S⟩$，同态由它在 $S$ 上的值唯一决定，因为每个元素都是生成元及其逆元的词。存在性还须检查关系：从循环群 $C_n=⟨g\mid g^n=e⟩$ 向 $H$ 指定 $g\mapsto h$，必须有 $h^n=e_H$；满足时才可一致地定义 $g^k\mapsto h^k$。例如从四阶循环群向六阶循环群的加法表示 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 映射时，可把生成元送到 $\overline{3}$，因为 $4\overline{3}=\overline{0}$；却不能送到 $\overline{1}$，因为 $4\overline{1}=\overline{4}\ne \overline{0}$。合法的像可以具有比原生成元更短的周期，所以同态未必保留元素的阶。一般群同样要求生成元的像保留全部定义关系。

同态复合仍是同态，恒等映射也是同态，于是群及其同态构成一个范畴。子群的原像总是子群，正规子群的原像仍正规；若 $N⊴G$，则 $\phi (N)$ 正规于 $\mathrm{im}\phi$，但在 $\phi$ 不满射时未必正规于整个 $H$。

第一同构定理理路群第一同构定理First isomorphism theorem for groups群同态的定义域商去其核后，与同态像自然同构。把纤维图像精确写成

因此研究一个具体同态时，最有效的顺序通常是：确认它保持运算，求核与像，再用商群解释它压缩了什么。群表示、自同构群、符号映射和群作用的置换表示都遵循这条路线。