群同态

同态允许改变元素的名称和表示，却不改变组合规则。“先在 $G$ 中运算再映射”和“先映射到 $H$ 再运算”给出同一结果，所以任何只由乘法、单位元与逆元写成的关系都会随同态传到目标群。

核和像从两侧描述信息流。核收集所有被压成单位元的输入；若 $\phi (a)=\phi (b)$，则

所以 $a^{-1}b\in \ker \phi$，反向也成立。也就是说，每条纤维都是核的一个陪集。像则是目标群中真正能够到达的部分；陪域可以比像大，不能从公式本身默认满射。

同态不要求保持元素的字面形态，也不要求保持全部信息。满同态可以压缩结构，单同态可以把结构嵌入更大群；只有同时单射和满射时，两个群才在运算意义下没有区别。

自然映射

是满同态，核为 $n\mathbb{Z}$。它把相差 $n$ 的倍数的整数合并，却完整保留模 $n$ 加法。

对域 $F$，行列式

是满同态，核是 ${\mathrm{SL}}_n(F)$。满射性可由对角矩阵 $\mathrm{diag}(a,1,\dots ,1)$ 直接看出；这个同态把矩阵乘法中的大量非交换信息压缩成一个可交换的标量。

固定 $g\in G$ 的共轭映射 $c_g(x)=gx{g}^{-1}$ 是自同构，其逆为 $c_{g^{-1}}$。映射 $g\mapsto c_g$ 又给出 $G\to \mathrm{Aut}(G)$ 的同态，核恰是中心 $Z(G)$。这说明群的内部共轭对称本身也由同态组织。

任意集合映射不一定是同态。$f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$、$f(k)=k+1$ 不保持加法，因为 $f(0)=1\ne 0$。映射 $q:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$、$q(k)=2k$ 是单同态，却不是满同态；若把陪域改为 $2\mathbb{Z}$，同一个公式才成为同构。映射的类型包含陪域，不能只看表达式。

同态单射当且仅当核平凡。若核只有 $e$，由 $\phi (a)=\phi (b)$ 得 $a^{-1}b=e$，所以 $a=b$；反向则由单射和 $\phi (g)=e_H=\phi (e_G)$ 得 $g=e_G$。同态满射当且仅当像等于陪域。双射同态称为同构，其逆映射自动保持群运算。

若 $G=⟨S⟩$，同态由它在 $S$ 上的值唯一决定，因为每个元素都是生成元及其逆元的词。反过来，任意指定的生成元像只有在满足 $G$ 的全部关系时才能延拓成同态；检查生成元而忽略关系，会定义出不一致的“映射”。

同态复合仍是同态，恒等映射也是同态，于是群及其同态构成一个范畴。子群的原像总是子群，正规子群的原像仍正规；若 $N⊴G$，则 $\phi (N)$ 正规于 $\mathrm{im}\phi$，但在 $\phi$ 不满射时未必正规于整个 $H$。

第一同构定理公理库群第一同构定理First isomorphism theorem for groups群同态的定义域商去其核后，与同态像自然同构。把纤维图像精确写成

因此研究一个具体同态时，最有效的顺序通常是：确认它保持运算，求核与像，再用商群解释它压缩了什么。群表示、自同构群、符号映射和群作用的置换表示都遵循这条路线。