链复形

形式陈述 ​

一个链复形 $(C_{\bullet },{\partial }_{\bullet })$ 是一列 Abel 群与同态

$$\cdots \stackrel{{\partial }_{n+1}}{\to }{C}_n\stackrel{{\partial }_n}{\to }{C}_{n-1}\stackrel{{\partial }_{n-1}}{\to }\cdots$$

满足对每个 $n$，

$${\partial }_{n-1}\circ {\partial }_n=0.$$

因此 $\mathrm{im}{\partial }_{n+1}\subseteq \ker {\partial }_n$。称

$$Z_n=\ker {\partial }_n,B_n=\mathrm{im}{\partial }_{n+1}$$

分别为 $n$-循环群与 $n$-边界群，同调群定义为 $H_n(C)=Z_n/B_n$。链映射 $f_{\bullet }:C_{\bullet }\to D_{\bullet }$ 是一族同态 $f_n:C_n\to D_n$，满足 $d_n{f}_n=f_{n-1}{\partial }_n$，也就是先取边界或先映射再取边界得到同一结果。

定义可把 Abel 群推广为环上的模或任意 Abel 范畴中的对象。这个一般代数层不指定生成元来自几何、矩阵还是函数；具体来源由构造链复形的页面负责。

直觉 ​

$C_n$ 收集“$n$ 维对象的形式线性组合”，${\partial }_n$ 只记录它们的边界。条件 ${\partial }^2=0$ 表示边界本身没有边界，因此每个边界自动是循环；但循环未必是更高维对象的边界，二者之间的缺口就是同调。

链复形把“对象怎样拼合”与“哪些洞无法填充”分开。前者编码在边界算子，后者在核模像中出现。正因为定义只依赖同态与复合为零，同一套语言既能承载拓扑链、代数分解，也能承载导出函子中的分辨率。

例子与边界 ​

最短的非平凡例子是 $0\to C_1\stackrel{{\partial }_1}{\to }{C}_0\to 0$；此时 $H_1=\ker {\partial }_1$，$H_0=C_0/\mathrm{im}{\partial }_1$。若所有边界算子都为零，则 $H_n\cong C_n$；若复形在每一度都满足像等于核，则称正合，所有同调群为零。

只有一串群和映射还不够：连续两个映射必须复合为零。另一方面，${\partial }^2=0$ 不要求单个 ${\partial }_n$ 为零，也不要求每个循环都是边界。链的方向通常降低次数；上链复形则用升次数的余边界，符号与指标约定必须明确。

推论与应用 ​

奇异链复形公理库奇异链复形Chain complex in topology · Singular chain complex · 拓扑链复形由空间中的奇异单形生成链群，并以交替面映射组成满足边界平方为零的链复形。以奇异单形生成链群；单纯链与胞腔链换用更精简的几何生成元。短正合链复形会诱导同调长正合列，链同伦则给出相同的同调映射。把一般代数定义抽出后，拓扑特例只需说明生成元和边界公式，不再把“链复形”本身误解成只属于奇异同调的对象。

参考资料

• Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，chain complexes and homology。
• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，chain complexes in singular homology。