链复形

从几何例子看，$C_n$ 收集“$n$ 维对象的形式线性组合”，${\partial }_n$ 记录它们的有向边界。一个三角形的边界由三条有向边组成，再取这些边的端点时，每个顶点出现两次、符号相反，最终相消。这就是 ${\partial }^2=0$ 的图像。

一个首尾闭合的环是循环；若它能由已有的面填满，它又是边界。同调保留那些尚未被填满的循环，并把相差一个边界的循环视为相同。在纯代数构造中，次数不必代表几何维数，但“先取核，再模掉上一映射的像”仍给出同一套计算。

考虑集中在次数 $1$ 和 $0$ 的链复形 $0\to C_1\stackrel{{\partial }_1}{\to }{C}_0\to 0$；此时 $H_1=\ker {\partial }_1$，$H_0=C_0/\mathrm{im}{\partial }_1$。取 $C_1=C_0=\mathbb{Z}$、${\partial }_1(n)=2n$，两端的映射均为零，因此复合条件成立。乘二的核只有零，却只覆盖偶数，所以 $H_1=0$、$H_0\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。后者的非零类加上自身就变成零，这种有限阶现象称为挠；同调由此能记录比“洞的个数”更细的信息。

若所有边界算子都为零，则每个元素都是循环，唯一的边界是零，故 $H_n\cong C_n$。若每一度都满足像等于核，则复形正合，所有同调群为零。这两个极端展示了复合为零所允许的不同情形。链复形的边界降低次数；上链复形则使用升次数的余边界，并以相同的核模像构造上同调。

链映射保持循环与边界：若 ${\partial }_{n}c=0$，则 $d_n{f}_n(c)=0$；若 $c={\partial }_{n+1}b$，则 $f_n(c)=d_{n+1}{f}_{n+1}(b)$。因此它诱导同调映射 $[c]\mapsto [f_n(c)]$。链同伦的两个映射在循环上的差是边界，所以诱导相同的同调映射。

奇异链复形理路奇异链复形Chain complex in topology · Singular chain complex · 拓扑链复形由空间中的奇异单形生成链群，并以交替面映射组成满足边界平方为零的链复形。以奇异单形生成链群；对具有单纯或胞腔结构的空间，还可用相应的链复形计算同调。若链映射 $A_{\bullet }\to B_{\bullet }\to C_{\bullet }$ 在每一度组成短正合列理路正合列Exact sequence相邻同态满足前一映像等于后一核的一列模与同态。，就会诱导同调长正合列。已知部分同调群及相关映射后，可以据此计算核与像，约束未知同调群的结构。

Koszul 复形理路Koszul 复形Koszul complex用外代数把一列乘法关系组织成链复形，逐项计算正则序列和重复元素的同调，并解释正合性如何检测正则。用一列环元素的乘法构造具体微分，二次项给出交换律产生的关系。对 $k[x,y]$ 中的 $(x,y)$，可逐项验证它自由分解剩余域；改在 $k[x]$ 中考察重复序列 $(x,x)$，一次同调则留下 $k$，检测第二个约束的冗余。

删除一对坐标不能只看其中一张边界矩阵 ​

单位主元消去理路有基链复形的单位主元消去Elementary chain cancellation · Unit-pivot chain contraction · 代数链消去在交换环有基自由链复形中删除一个单位边界对，显式交出约化微分、来回链映射及收缩同伦，并核清过滤保持、复合和非单位主元边界。在交换环的有基自由复形中，要求被删除边界系数是真正的单位，并同时更新微分、来回链映射与升次同伦。整数上的乘二不是单位，若把 $\mathbb{Z}\stackrel{2}{\to }\mathbb{Z}$ 直接删除，会丢失本页的 $\mathbb{Z}/2$ 同调。

带过滤的数据还需要保留每层以及层间关系。持续同调理路有限过滤的持续同调Persistent homology · 持久同调 · 持续同调从有限子复形过滤构造带包含诱导映射的同调序列，用区间记录类的出生与死亡，并区分逐层维数、系数选择、同级事件及最终常值延拓。把早期循环是否成为后来边界记录成映射；总体 $d^2=0$ 与最终同调正确，并不足以认证这些跨层信息也正确。