链复形 | Codeboy's Blog

形式陈述

一个链复形 $(C_\bullet,\partial_\bullet)$ 是一列Abel 群与群同态

\cdots\xrightarrow{\partial_{n+1}}C_n \xrightarrow{\partial_n}C_{n-1} \xrightarrow{\partial_{n-1}}\cdots

满足对每个 $n$ ，连续两个边界映射的复合为零：

\partial_{n-1}\circ\partial_n=0.

因此 $\operatorname{im}\partial_{n+1}\subseteq\ker\partial_n$ 。称

Z_n=\ker\partial_n,\qquad B_n=\operatorname{im}\partial_{n+1}

分别为 $n$ -循环群与 $n$ -边界群，同调群定义为 $H_n(C)=Z_n/B_n$ 。链映射 $f_\bullet:C_\bullet\to D_\bullet$ 是一族同态 $f_n:C_n\to D_n$ ，满足 $d_n f_n=f_{n-1}\partial_n$ ，也就是先取边界或先映射再取边界得到同一结果。

定义可把 Abel 群推广为环上的模或任意 Abel 范畴中的对象。这个一般代数层不指定生成元来自几何、矩阵还是函数；具体来源由构造链复形的页面负责。

直觉

$C_n$ 收集“ $n$ 维对象的形式线性组合”， $\partial_n$ 只记录它们的边界。条件 $\partial^2=0$ 表示边界本身没有边界，因此每个边界自动是循环；但循环未必是更高维对象的边界，二者之间的缺口就是同调。

链复形把“对象怎样拼合”与“哪些洞无法填充”分开。前者编码在边界算子，后者在核模像中出现。正因为定义只依赖同态与复合为零，同一套语言既能承载拓扑链、代数分解，也能承载导出函子中的分辨率。

链复形中边界包含于循环，同调记录未被更高维链填充的循环 — 链复形中的循环、边界与同调

例子与边界

最短的非平凡例子是 $0\to C_1\xrightarrow{\partial_1}C_0\to0$ ；此时 $H_1=\ker\partial_1$ ， $H_0=C_0/\operatorname{im}\partial_1$ 。若所有边界算子都为零，则 $H_n\cong C_n$ ；若复形在每一度都满足像等于核，则称正合，所有同调群为零。

只有一串群和映射还不够：连续两个映射必须复合为零。另一方面， $\partial^2=0$ 不要求单个 $\partial_n$ 为零，也不要求每个循环都是边界。链的方向通常降低次数；上链复形则用升次数的余边界，符号与指标约定必须明确。

推论与应用

链复形把核与像之间的包含关系升级为每一度的同调商；当每一度都像等于核时，它成为正合列。奇异链复形以奇异单形生成链群，单纯链与胞腔链则换用更精简的几何生成元；短正合链复形进一步诱导同调长正合列，链同伦给出相同的同调映射。把一般代数定义抽出后，拓扑特例只需说明生成元和边界公式，不再把“链复形”误解成只属于奇异同调的对象。

参考资料

Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，chain complexes and homology。
Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，chain complexes in singular homology。

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