链同伦 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $f,g:C_\bullet\to D_\bullet$ 是两个链映射。从 $f$ 到 $g$ 的链同伦是一族次数升高 $1$ 的态射

h_n:C_n\longrightarrow D_{n+1}

满足对每个 $n$ ，

f_n-g_n=d_{n+1}^D h_n+h_{n-1}d_n^C.

简写为 $f-g=d_Dh+hd_C$ ，并记 $f\simeq g$ 。这一定义依赖 Hom 集上的加法与负元，所以自然地位于预加性范畴中。若使用上链指标， $h$ 的次数为 $-1$ ，公式相应写成 $f-g=d_Dh+hd_C$ ；抽象式不变，但分量下标不可直接照搬。

链同伦是链映射之间的等价关系。自反性取 $h=0$ ；对称性把 $h$ 换成 $-h$ ；传递性把两个同伦逐次相加。它还与前后复合相容：若 $f\simeq g$ ，则对可复合链映射 $a,b$ 有

afb\simeq agb.

若存在链映射 $f:C\to D$ 、 $g:D\to C$ 使

gf\simeq1_C, \qquad fg\simeq1_D,

则称 $C,D$ 链同伦等价， $f$ 与 $g$ 为链同伦逆。这里要求的是复合与恒等链映射同伦，不要求逐次真的互为逆。

直觉

链映射严格保持边界；链同伦则描述两种保持方式之间的“可控误差”。公式右侧的两项分别表示先沿 $h$ 提高次数再取边界，以及先取边界再沿 $h$ 提高次数。若 $f-g$ 能完全由这两种边界运动组成，那么它在循环模边界之后不可见。

可以把 $h$ 想成给每个链指定一条高一维的“棱柱”。两端的差是棱柱边界的一部分，其余侧面由 $hd$ 补齐。这个图像解释了为什么同伦映射对同调产生同一个结果，也解释了次数为什么必须恰好升高一。

例子与边界

考虑集中在次数 $1,0$ 的链复形

C:\quad0\longrightarrow\mathbb Z \xrightarrow{1}\mathbb Z\longrightarrow0.

令 $h_0:C_0\to C_1$ 为恒等映射，其余 $h_n=0$ 。对次数 $0$ ，有 $dh_0=1_{C_0}$ ；对次数 $1$ ，有 $h_0d=1_{C_1}$ 。所以

1_C-0=dh+hd,

即恒等链映射与零链映射同伦。这样的复形称可缩。若 $z$ 是循环， $z=(dh+hd)z=d(hz)$ ，因而每个循环都是边界，所有同调群为零。

反向结论在一般环上失败。把非分裂短正合列

0\longrightarrow\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z \longrightarrow\mathbb Z/2\mathbb Z\longrightarrow0

看成三项链复形，它处处正合，所以同调为零；但它不可缩。若存在收缩同伦，最右满射会获得一个群同态截面，从而使短正合列分裂；这与 $\mathbb Z$ 中没有阶为 $2$ 的非零元素矛盾。故“无同调”比“可缩”弱，只有在额外的分裂或投射性条件下二者才可能重合。

链同伦也比逐次相等弱。 $f\simeq g$ 允许 $f_n\ne g_n$ ，甚至允许两个复形之间没有逐次同构。反过来，只写下一族 $h_n$ 而不验证 $f-g=dh+hd$ ，不能得到任何同调结论；次数或符号错一处都会破坏公式。

推论与应用

若 $z\in C_n$ 为循环，则

(f_n-g_n)(z)=d_{n+1}^Dh_n(z),

是 $D_n$ 中的边界，所以 $H_n(f)=H_n(g)$ 。链同伦等价因此必诱导所有次数上的同调同构。不过同调同构一般不足以推出链同伦等价；把拟同构全部强制变成同构需要进一步的局部化构造。

链同伦是分解比较定理的唯一性机制。把同一个模同态提升到两个投射分解之间时，提升链映射可能依赖逐次选择，但任意两个提升链同伦；对内射分解亦然。因而在同调上取值后，选择差异消失，导出函子的对象和态射才具有典范意义。

参考资料

Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，§1.4 “Chain Homotopies”。
Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009，Ch. 6, §6.2。
Peter J. Hilton and Urs Stammbach, A Course in Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 1997，Ch. IV, §1。