预加性范畴 | Codeboy's Blog

形式陈述

预加性范畴是一个局部小范畴 $\mathcal A$ ，其中每个态射集

\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X,Y)

都带有Abel 群结构，并且复合映射对两个变量分别为群同态。具体地，若 $f,f':X\to Y$ ， $g,g':Y\to Z$ ，则

g\circ(f+f')=g\circ f+g\circ f', \qquad (g+g')\circ f=g\circ f+g'\circ f.

这等价于说复合

\operatorname{Hom}(Y,Z)\times\operatorname{Hom}(X,Y) \longrightarrow \operatorname{Hom}(X,Z)

是双加性的。每个 Hom 群有零元，记作 $0_{X,Y}:X\to Y$ 。双加性迫使零态射具有吸收性：若类型允许复合，则

f\circ0=0, \qquad 0\circ g=0.

态射 $f:X\to Y$ 的加法逆元 $-f:X\to Y$ 满足 $f+(-f)=0_{X,Y}$ ，与它保持相同的源和目标。

加性函子 $F:\mathcal A\to\mathcal B$ 除了保持恒等态射与复合，还要求每个 $F:\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X,Y)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(FX,FY)$ 为群同态。这个附加条件保证 $F(f+g)=Ff+Fg$ ，从而保留零态射和负态射。

直觉

预加性范畴给箭头增加了相加、取负和取零的运算。双加性使这些运算与首尾复合协调：先把两条平行箭头相加再复合，等于分别复合再相加。因此可以展开 $(g+g')(f+f')$ ，得到 $gf+gf'+g'f+g'f'$ ，就像分配律展开代数式。

这些加法发生在各个 Hom 群内。对象的直和是另一层构造，由加性范畴提供；核、余核及它们的相容性则进入 Abel 范畴的定义。三层结构依次组织箭头的算术、对象的有限拼接和正合性。

例子与边界

固定含幺环 $R$ 。 $R$ -模与模同态组成的范畴是预加性的：对 $f,g:M\to N$ ，逐点定义

(f+g)(m)=f(m)+g(m),

而复合的双加性来自模同态的加法性。特别地，Abel 群范畴就是 $R=\mathbb Z$ 的情形。

把一个含幺环 $R$ 看成只有一个对象 $*$ 的范畴，令 $\operatorname{End}(*)=R$ ，并把态射复合定义为环乘法。环加法使这个 Hom 集成为 Abel 群，分配律恰好给出复合的双加性。取 $R=\mathbb Z$ 时，态射 $2$ 的加法逆元为 $-2$ ，但 $2$ 没有乘法逆元；两种逆在这里分别是相加得 $0$ 与复合得 $1$ 。

集合范畴 $\mathbf{Set}$ 不是预加性的，因为 $\operatorname{Hom}(\{*\},\varnothing)$ 是空集，而每个 Abel 群至少要有一个零元。这已经阻止了为所有 Hom 集赋予所需的群结构。

一对象环范畴中的唯一对象若为零对象，其自同态集就只能有一个元素，迫使 $R$ 为零环。因此非零环给出的范畴有零态射，却没有零对象；态射群中的零元并不需要由一个零对象产生。

推论与应用

在预加性范畴中，可以定义链复形 $d_{n-1}d_n=0$ 。对链映射 $f,g:C_\bullet\to D_\bullet$ ，还可以用 $h_n:C_n\to D_{n+1}$ 写出链同伦方程

f_n-g_n=d^D_{n+1}h_n+h_{n-1}d^C_n.

式中的零、差与和都属于相应的 Hom 群。若两条链同伦可以相接，把对应的 $h_n$ 相加就得到复合的同伦，这一步正依赖双加性。

当所需的有限双积存在时，态射还能用分块矩阵表示。矩阵乘法中每项使用态射复合，再把同源同靶的项相加；这正是预加性结构在对象直和上的计算方式。

参考资料

Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd ed., Springer, 1998，Ch. VIII, §2 “Additive Categories”。
Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，§1.2 “Additive Categories”。
Peter J. Hilton and Urs Stammbach, A Course in Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 1997，Ch. II, §1。

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