预加性范畴 | Codeboy's Blog

形式陈述

预加性范畴是一个局部小范畴 $\mathcal A$ ，其中每个态射集

\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X,Y)

都带有Abel 群结构，并且复合映射对两个变量分别为群同态。具体地，若 $f,f':X\to Y$ ， $g,g':Y\to Z$ ，则

g\circ(f+f')=g\circ f+g\circ f', \qquad (g+g')\circ f=g\circ f+g'\circ f.

这等价于说复合

\operatorname{Hom}(Y,Z)\times\operatorname{Hom}(X,Y) \longrightarrow \operatorname{Hom}(X,Z)

是双加性的。每个 Hom 群有零元，记作 $0_{X,Y}:X\to Y$ 。双加性迫使零态射具有吸收性：若类型允许复合，则

f\circ0=0, \qquad 0\circ g=0.

态射 $f$ 还有加法逆元 $-f$ ，但这并不表示 $f$ 对复合可逆； $-f$ 只是同一个 Hom 群中的加法逆元。

预加性函子 $F:\mathcal A\to\mathcal B$ 除了保持恒等态射与复合，还要求每个 $F:\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X,Y)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(FX,FY)$ 为群同态。这个附加条件保证 $F(f+g)=Ff+Fg$ ，从而保留零态射和负态射。

直觉

普通范畴只允许把箭头首尾相接；预加性范畴还允许对同源同靶的箭头做线性组合的最初一步——相加、取负和取零。双加性要求“先把两条箭头相加再复合”与“分别复合再相加”完全一致，因此箭头演算可以展开括号、移项并写矩阵，却仍不需要给对象本身定义加法。

“预”字提醒我们，态射已经可加，对象却未必能作直和，核和余核也未必存在。换言之，它提供同调代数所需的算术语法，但尚未保证解方程所需的对象级构造。后续的加性范畴与 Abel 范畴会依次补上这些结构。

例子与边界

固定含幺环 $R$ 。 $R$ -模与模同态组成的范畴是预加性的：对 $f,g:M\to N$ ，逐点定义

(f+g)(m)=f(m)+g(m),

而复合的双加性来自模同态的加法性。特别地，Abel 群范畴就是 $R=\mathbb Z$ 的情形。

一个更能显出边界的例子来自环本身。把一个环 $R$ 看成只有一个对象 $*$ 的范畴，令 $\operatorname{End}(*)=R$ ，并把态射复合定义为环乘法。环加法使这个 Hom 集成为 Abel 群，分配律恰好给出复合的双加性，所以得到预加性范畴。若只从任意幺半群做同样的一对象范畴，态射未必能相加，便通常不是预加性的。

集合范畴 $\mathbf{Set}$ 也不是预加性的。若想为每个函数集自然地指定零函数，必须先在每个陪域中选择一个零元素；空集没有这样的元素，而且这些选择也不能与所有函数自然相容。预加性不是“把某种加法硬塞进 Hom 集”就够了，它要求这些加法与所有复合同时协调。

一对象环范畴还说明预加性不蕴含零对象或二元直和：它唯一的对象若同时是始对象和终对象，则其自同态集只能有一个元素，迫使 $R$ 为零环。非零环给出的范畴因此预加性成立，却不是加性范畴。

推论与应用

在预加性范畴中，可以定义链复形、链映射及链同伦，因为这些构造只需要零态射、态射加法和双加性复合。若 $f,g:X\to Y$ ，表达式 $g-f$ 有意义；若 $d^2=0$ ，也能像线性代数中一样展开交换方块和同伦公式。

双加性还使有限对象族之间的态射可按矩阵规则复合；但只有对象的有限双积实际存在时，这些矩阵才对应对象间态射。加入零对象和有限双积便得到加性范畴，再加入核、余核及像—余像相容性才得到 Abel 范畴。因而预加性范畴是箭头可做加法的最低层，而不是正合性自动成立的承诺。

参考资料

Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd ed., Springer, 1998，Ch. VIII, §2 “Additive Categories”。
Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，§1.2 “Additive Categories”。
Peter J. Hilton and Urs Stammbach, A Course in Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 1997，Ch. II, §1。

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