范畴 | Codeboy's Blog

形式陈述

范畴 $\mathcal C$ 由对象、对象之间的态射，以及态射的复合规律组成。每个态射 $f:A\to B$ 都有指定的源对象 $A$ 与目标对象 $B$ ；只有接口匹配时才能复合。具体数据和公理是：

对象 $A,B$ 之间的态射集合 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,B)$ ；
对每个对象 $A$ ，一个恒等态射 $\operatorname{id}_A:A\to A$ ；
对 $f:A\to B$ 、 $g:B\to C$ ，一个复合态射 $g\circ f:A\to C$ 。

对所有可复合的态射，要求

h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f, \qquad f\circ\operatorname{id}_A=f=\operatorname{id}_B\circ f.

前一式是结合律，后一式是单位律。这里 $g\circ f$ 表示先做 $f$ 再做 $g$ ，与函数复合的记号相同。

本条目采用局部小范畴，即每个 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,B)$ 是集合；全部对象则可以形成真类。对象与态射全体都是集合时称为小范畴。例如，所有集合及其函数构成大范畴 $\mathbf{Set}$ ，任意两个给定集合之间的函数仍组成一个集合。

直觉

范畴首先保留“对象之间允许做什么，以及这些操作怎样接起来”。在 $\mathbf{Set}$ 中，对象是集合，态射是函数；在群的范畴中，对象是群，态射必须是保运算的群同态。每种范畴选择自己的合法箭头，然后要求连续做两步仍得到合法箭头，什么都不做也有对应的恒等箭头。

从有向图出发理解范畴时，需要补上复合及其规律。画出 $f:A\to B$ 与 $g:B\to C$ 后，还要指定 $g\circ f:A\to C$ ；每个对象也要配上恒等态射。某些复合会等于已有箭头，例如交换两次位置就回到恒等操作。

范畴公理只使用源、目标、复合和相等，所以箭头可以承担多种含义。例如在偏序中，箭头 $a\to b$ 表达关系 $a\le b$ ；两条关系首尾相接，由传递性得到第三条关系。

例子与边界

两种熟悉结构怎样成为范畴

一个偏序集 $P$ 可以给出范畴：对象为 $P$ 的元素， $a\le b$ 时有唯一态射 $a\to b$ ，否则没有。自反性提供恒等态射，传递性提供复合；每对对象之间至多一个态射，所以任何两条同源同目标的路径，其复合都相等。这类范畴称为薄范畴。

一个幺半群 $(M,*,e)$ 可以给出只有一个对象 $\bullet$ 的范畴，把每个 $m\in M$ 视为态射 $\bullet\to\bullet$ ，规定 $n\circ m=n*m$ 。于是所有态射都能复合，结合律与单位律正好来自幺半群。若全部态射都可逆，则相应幺半群是群。

这两种例子表明，对象数和箭头数是不同维度：偏序范畴可以有很多对象但每对之间至多一箭头，单对象范畴则可以在一个对象上承载复杂的运算。

用复合等式表达图交换

设 $f:A\to B$ 、 $g:A\to C$ 、 $h:B\to D$ 、 $k:C\to D$ 。说这四条箭头形成交换方块，是要求

h\circ f=k\circ g:A\to D.

两条路径从相同的 $A$ 出发，到相同的 $D$ 结束；交换性进一步要求它们代表同一个态射。在 $\mathbf{Set}$ 中，这就是对每个 $a\in A$ 都有 $h(f(a))=k(g(a))$ 。

结合律也不表示复合可交换。例如 $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ ， $f(x)=x+1$ 、 $g(x)=2x$ ，则 $g\circ f(x)=2x+2$ ，而 $f\circ g(x)=2x+1$ 。两个方向都能复合，结果仍不同；对不同对象之间的箭头，反向复合甚至可能没有定义。

同构与双侧逆

态射 $f:A\to B$ 是同构，指存在 $g:B\to A$ ，使 $g\circ f=\operatorname{id}_A$ 且 $f\circ g=\operatorname{id}_B$ 。逆由结合律唯一决定：若 $g,h$ 都是逆，则 $g=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h=h$ 。

在 $\mathbf{Set}$ 中，同构恰是双射；在拓扑空间及连续映射的范畴中，同构是同胚，连续双射的逆还要连续。相同的可逆性定义，会随合法态射的选择而要求不同的结构保持性质。

“左可消去”和“右可消去”则分别给出单态射、满态射。例如 $f$ 是单态射，表示 $f\circ u=f\circ v$ 总能推出 $u=v$ 。两种消去性同时成立，一般仍不足以保证同构：在两元素偏序 $0<1$ 对应的范畴中， $0\to1$ 同时具有两种消去性，因为同源同目标的态射至多一个；但不存在 $1\to0$ ，所以它不可逆。

推论与应用

结构保持的映射还可以作用于整个范畴

函子 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ 给每个对象指定对象、每个态射指定同向态射，并要求

F(\operatorname{id}_A)=\operatorname{id}_{F(A)},\qquad F(g\circ f)=F(g)\circ F(f).

它保留的正是范畴用来组织操作的规则。例如，把群送到其底层集合、把群同态送到底层函数，就是忘却群运算而保留映射复合的函子。

自然变换进一步比较两个函子。它给每个对象配一个比较箭头，并要求对原范畴中的每个态射，相关方块交换。这样得到的比较与对象之间的所有映射相容。

用所有合法箭头刻画对象

一个对象是否满足某种泛性质，可以用“从它出发或到达它的箭头如何唯一分解”来表达。例如给定集合映射 $f:X\to A$ 、 $g:X\to B$ ，唯一的配对映射 $x\mapsto(f(x),g(x))$ 到达 $A\times B$ ，两个投影分别恢复 $f$ 与 $g$ 。

这种刻画通过映射规律识别构造。即使有序对采用不同的集合编码，满足同一泛性质的乘积仍有唯一保持投影的同构。范畴语言把这些具体实现连接起来。

参考资料

Emily Riehl，Category Theory in Context，作者开放版，§§1.1–1.4：范畴、函子、自然变换及集合、偏序、幺半群例子。
Tom Leinster，Basic Category Theory，作者开放预印本，第 1 章：复合、同构与基本范畴构造。
Saunders Mac Lane，Categories for the Working Mathematician，第 I 章：范畴的大小约定与结构保持映射。

形式陈述 ​

两种熟悉结构怎样成为范畴 ​

用复合等式表达图交换 ​

同构与双侧逆 ​

结构保持的映射还可以作用于整个范畴 ​

用所有合法箭头刻画对象 ​