范畴

范畴把对象的内部材料退到背景，转而记录对象之间允许的变换及其复合。这样保留下来的不是“所有信息”，而是指定态射能够观察的结构；改变态射种类，即使对象没有改变，也会得到不同范畴和不同问题。

范畴论中的“相同”通常表现为同构或范畴等价，而不是底层集合逐字相等。源、目标和复合是定义的一部分，所以态射不是脱离类型的裸箭头。

集合与函数形成 $\mathbf{Set}$，群与群同态形成 $\mathbf{Grp}$。偏序集也可视为范畴：当且仅当 $x\le y$ 时有唯一态射 $x\to y$，复合由传递性给出。一个幺半群是单对象范畴；若其中每个态射都可逆，就得到群。

$\mathbf{Set}$ 的对象在通常 ZF 中不能组成集合，所以它是大而局部小的范畴。结合律只要求三个可复合态射的两种加括号方式相同，并不要求 $f\circ g=g\circ f$。范畴中的单态射、满态射由复合消去律定义，不一定等于底层集合函数的单射、满射；因此不能跨范畴直接套用集合直觉。

反范畴 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}$ 保留对象并反转态射。函子公理库函子Functor保持单位态射和复合的范畴之间映射。比较范畴，自然变换公理库自然变换Natural transformation由对象逐点态射组成并满足自然性方块交换的函子间映射。比较函子，伴随公理库伴随Adjunction两个反向函子之间由自然同构的态射集双射刻画的关系。刻画成对的最佳逼近。极限、自由对象、商对象和表示对象都可在适当范畴中通过 泛性质公理库泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。统一描述。