形式陈述

范畴 $\mathcal C$$\mathcal{C}$ 由对象类、每对对象间的态射集合（或类）$\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,B)$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,B)$、态射复合

$$ \operatorname{Hom}(B,C)\times\operatorname{Hom}(A,B)\to\operatorname{Hom}(A,C) $$$$\mathrm{Hom}(B,C)\times \mathrm{Hom}(A,B)\to \mathrm{Hom}(A,C)$$

和每个对象的恒等态射 $1_A$$1_A$ 构成，并满足结合律与单位律。若对象构成集合，称小范畴；若每个 Hom 是集合，称局部小范畴。反范畴 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}$ 保留对象并反转全部态射。单态射、满态射和同构由其在复合中的消去或可逆性质定义，而不必由底层集合函数定义。

直觉

范畴只保留“对象之间怎样映射以及映射怎样复合”，从而把不同数学领域的共同结构模式抽离出来。

例子与边界

集合与函数形成范畴 $\mathbf{Set}$$\mathbf{Set}$，群与群同态形成 $\mathbf{Grp}$$\mathbf{Grp}$，偏序集可视为任意两对象间至多一个态射的范畴。一个群也可视为只有一个对象、所有态射都可逆的范畴。大范畴如 $\mathbf{Set}$$\mathbf{Set}$ 的对象不能在通常集合论中组成集合，因此需区分小与大。范畴中的满态射未必是底层集合满射，环范畴中典型现象尤其需要谨慎。结合律要求可复合的三态射任意括号给同一结果，而不是态射本身交换。

推论与应用

范畴语言统一同构、泛性质、函子与伴随，并让代数、拓扑和逻辑中的构造可跨领域迁移。

参考资料

• Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd ed., Springer, 1998，Ch. I, categories, arrows, and duality。
• Steve Awodey, Category Theory, 2nd ed., Oxford University Press, 2010，Chs. 1–2, categories and examples。