始对象与终对象

始对象提供统一的出发点：无论目标对象是什么，到它都恰有一条箭头。终对象提供统一的汇点：每个对象都恰有一条箭头到达它。反转范畴中的所有箭头，就把这两种角色互换。

唯一性把构造确定下来。例如在群范畴中，任意两群之间都有平凡同态，但一个非平凡群还拥有不同于平凡同态的恒等自同态，因此既不能是始对象，也不能是终对象。这是泛性质理路泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。的一个直接例子：通过到所有对象的映射规律识别一个对象。

集合范畴 $\mathbf{Set}$ 中，空集是始对象：到任何集合 $X$ 恰有一个映射，即空映射；任一单点集是终对象：每个 $X$ 只能整体映到那个点。两者不同构，故 $\mathbf{Set}$ 没有零对象。这个例子同时检验了唯一性条款的筛选力：单点集不是始对象，因为它到 $X$ 的映射共有 $|X|$ 个，而且到空集一个也没有。

群范畴中平凡群同时是始对象与终对象，即零对象；向量空间范畴中的零空间同理。复合 $X\to 0\to Y$ 给出零态射。它与任意可复合态射相接后仍为零，因为经零对象的两段箭头都已唯一确定。核的泛性质便可以用“复合为零”来表达。

在含幺环及保幺环同态理路环同态Ring homomorphism保持加法与乘法的映射；保持单位元时称为保幺环同态。的范畴中，$\mathbb{Z}$ 是始对象：同态把 $1$ 送到 $1$ 后，所有整数的像都被确定为 $n\mapsto n\cdot 1$。若允许零环，它就是终对象。若只取非零环，则不存在终对象：它若同时接收 ${\mathbb{F}}_2$ 与 ${\mathbb{F}}_3$ 的保幺同态，就会同时满足 $2\cdot 1=0$ 与 $3\cdot 1=0$，从而 $1=0$，矛盾。

在偏序范畴中，始对象就是最小元，终对象就是最大元，所以 $(\mathbb{Z},\le )$ 两者皆无。在域与保幺同态的范畴中，不同特征的域之间没有态射，也就没有始对象或终对象；限制到固定特征后，素域成为始对象，特征 $p$ 时为 ${\mathbb{F}}_p$，特征零时为 $\mathbb{Q}$。

始对象的唯一性由两次复合证明。若 $0,0^{\prime }$ 均为始对象，则有唯一态射 $f:0\to 0^{\prime }$ 与 $g:0^{\prime }\to 0$。复合 $gf$ 是 $0$ 的自态射，而 $\mathrm{Hom}(0,0)$ 只含恒等态射，故 $gf=1_0$；同理 $fg=1_{0^{\prime }}$。于是 $f,g$ 互为逆，且这组同构也唯一。

终对象是空图表的范畴极限理路极限与余极限Limit and colimit用锥的终对象或余锥的始对象统一积、等化子、拉回及其对偶。，始对象是空图表的余极限。空图表没有需要提供的投影或射入，所以锥或余锥只剩一个顶点；相应的唯一因子化恰好就是终对象或始对象条件。它们由此成为空积与余积理路范畴积与余积Categorical product · Coproduct由到各分量或从各分量的箭头所刻画的二元极限与余极限。。

可表函子理路可表函子Representable functor自然同构于某个 Hom 函子的函子。也能这样描述。对协变集合值函子 $F:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$，把 $(X,x\in F(X))$ 作为对象，把满足 $F(f)(x)=y$ 的 $f:X\to Y$ 作为态射，得到元素范畴；代表对象连同通用元素是其中的始对象。反变集合值函子的元素范畴采用条件 $F(f)(y)=x$，表示数据则成为终对象。这两个方向与 Yoneda 引理理路Yoneda 引理Yoneda lemma从可表函子到集合值函子的自然变换，由后者在代表对象处的一个元素唯一确定。的两个版本对应。