始对象与终对象

始对象与终对象的"极端性"不按元素多少衡量，而是纯粹用箭头表达：始对象是最无约束的出发点，向任何对象都有且只有一种走法；终对象是万流归一的汇点，从任何对象出发都只有一种到达方式。定义的关键在"恰有一个"而非"至少有一个"——存在性几乎不筛选对象（例如任何群都能接收来自任何群的平凡同态），唯一性才把对象钉死到同构唯一的程度，并让一切相关图表自动交换。这是泛性质公理库泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。思想的最小工作样例：完全不描写对象的内部构造，只规定它与全体对象的映射关系，就足以把它唯一确定。还要留意：两者在同一范畴里可以差异巨大（集合范畴中是空集与单点集），也可以重合（群范畴中的平凡群），可见它们是范畴结构的属性，而非集合大小的属性。

集合范畴 $\mathbf{Set}$ 中，空集是始对象：到任何集合 $X$ 恰有一个映射，即空映射；任一单点集是终对象：每个 $X$ 只能整体映到那个点。两者不同构，故 $\mathbf{Set}$ 没有零对象。这个例子同时检验了唯一性条款的筛选力：单点集不是始对象，因为它到 $X$ 的映射共有 $|X|$ 个，而且到空集一个也没有。

群范畴中平凡群同时是始对象与终对象，即零对象；向量空间范畴中的零空间同理。零对象带来零态射：复合 $X\to 0\to Y$ 给出任意两对象之间的典范态射，这是能在此类范畴中谈论"核"的前提。含幺环范畴（同态保幺）中，$\mathbb{Z}$ 是始对象——同态必须送 $1\mapsto 1$，于是 $n\mapsto n\cdot 1$ 被完全决定，存在且唯一；若该范畴允许 $1=0$ 的零环，则零环是终对象，因为每个环到它都只有一个保幺同态。这里必须说明约定：有些教材把零环排除在含幺环之外，在那种范畴中上述终对象不存在。此例说明始对象与终对象可以是毫不相似的两种结构，也说明泛对象的存在会依赖所选范畴的精确定义。

存在性没有任何保证。把偏序集视为范畴（$x\to y$ 当且仅当 $x\le y$），始对象就是最小元、终对象就是最大元，而 $(\mathbb{Z},\le )$ 两者皆无。域范畴更极端：不同特征的域之间不存在任何同态，故既无始对象也无终对象；只有限制到固定特征的子范畴，素域（特征 $p$ 时的 ${\mathbb{F}}_p$、特征零时的 $\mathbb{Q}$）才成为始对象。

始对象的唯一性论证是泛性质推理的模板：若 $0,0^{\prime }$ 均为始对象，则有唯一态射 $f:0\to 0^{\prime }$ 与 $g:0^{\prime }\to 0$；$g\circ f$ 是 $0$ 的自态射，而 $\mathrm{Hom}(0,0)$ 只含恒等态射，故 $g\circ f={\mathrm{id}}_0$，同理 $f\circ g={\mathrm{id}}_{0^{\prime }}$。掌握这三行，就掌握了一切"泛对象在唯一同构下唯一"的证明。结构上，终对象是空图表的范畴极限公理库极限与余极限Limit and colimit用锥的终对象或余锥的始对象统一积、等化子、拉回及其对偶。，始对象是空图表的余极限，因此它们是积与余积公理库范畴积与余积Categorical product · Coproduct由到各分量或从各分量的箭头所刻画的二元极限与余极限。等构造的退化基例，也是检验"范畴是否具有全部有限极限"的第一项。更进一步，许多泛构造都可整体改述为某个辅助范畴的始对象：自由对象、张量积、局部化皆然；可表函子公理库可表函子Representable functor自然同构于某个 Hom 函子的函子。的表示对象正是其元素范畴的始对象，这条线索直通 Yoneda 引理公理库Yoneda 引理Yoneda lemma对象到一个函子的自然变换与该函子在对象处的元素自然双射。。