短正合列 | Codeboy's Blog

形式陈述

在Abel 范畴 $\mathcal A$ 中，短正合列是形如

0\longrightarrow A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}C\longrightarrow0

的正合列。端点正合说明 $i$ 为单态射、 $p$ 为满态射；在 $B$ 处正合说明

\operatorname{im}i=\ker p.

等价地， $i$ 连同其源对象给出 $p$ 的核，而 $p$ 连同其靶对象给出 $i$ 的余核。于是 $A$ 可识别为 $B$ 的子对象， $C$ 可识别为相应商对象，但短正合列还保留具体的嵌入和投影，不能只记对象的同构类型。

两个端点同为 $A,C$ 的短正合列称为等价扩张，如果存在中间对象同构 $\phi:B\to B'$ 使下图交换并在两端为恒等：

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & A & \xrightarrow{i} & B & \xrightarrow{p} & C & \longrightarrow & 0 \\ & & \Big\Vert & & {\scriptstyle\phi}\!\Big\downarrow{\scriptstyle\cong} & & \Big\Vert & & \\ 0 & \longrightarrow & A & \xrightarrow{i'} & B' & \xrightarrow{p'} & C & \longrightarrow & 0 \end{array}

若存在截面 $s:C\to B$ 使 $ps=1_C$ ，等价地存在回缩 $r:B\to A$ 使 $ri=1_A$ ，则短正合列分裂。此时 $B\cong A\oplus C$ ，且同构必须与 $i,p$ 相容。

直觉

短正合列把 $B$ 描述成“由 $A$ 作为核、以 $C$ 作为商”拼成的扩张。它告诉我们 $B$ 的哪些元素在投影下消失，也告诉我们投影覆盖了全部 $C$ ；但它不自动告诉我们如何把 $C$ 选回 $B$ 。缺少这一截面时， $A$ 与 $C$ 可能以非平凡方式黏合。

所以短正合列包含的信息多于 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个对象的清单，也多于一个抽象同构 $C\cong B/A$ 。箭头记录了 $A$ 如何坐在 $B$ 中，以及商同构如何被确定；Ext 群测量的正是端点固定后可能出现的不同黏合方式。

例子与边界

对 $n>1$ ，整数模给出短正合列

0\longrightarrow\mathbb Z\xrightarrow{\times n}\mathbb Z \xrightarrow{q}\mathbb Z/n\mathbb Z\longrightarrow0.

乘 $n$ 单射， $q$ 满射，且 $\ker q=n\mathbb Z$ 恰为前一映射的像。它不分裂：若有群同态截面 $s$ ，则 $s([1])$ 应满足 $ns([1])=s([n])=0$ ；但 $\mathbb Z$ 无非零 $n$ -挠元，同时 $q(s([1]))=[1]$ 又迫使它非零。

与此相对，向量空间的每个短正合列都分裂。选取 $i(A)$ 的一组基并扩充为 $B$ 的基，新增基向量张成补空间 $W$ ，而 $p|_W:W\to C$ 是同构。但这个分裂依赖扩充基，通常不自然；“存在分裂”不等于“给定典范分裂”。

仅有 $p\circ i=0$ 远远不够。例如

0\to\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z \xrightarrow{0}\mathbb Z\to0

中相邻复合为零，但末箭头不满，且中间的核是整个 $\mathbb Z$ ，不等于 $2\mathbb Z$ 。短正合性必须在每个位置分别验证。

短正合列也不是任意范畴都能逐元素理解。在层或抽象 Abel 范畴中，“子对象”和“商对象”由单态射、余核及泛性质给出；选代表元或写集合商可能没有意义。

推论与应用

短正合列之间的交换图是蛇引理、五引理与九引理的基本输入。对链复形逐次给出短正合列，可构造同调长正合列；连接态射揭示一个循环在提升到中间复形后为何未能继续保持为循环。

投射模 $P$ 的特征之一是每个以 $P$ 为商的短正合列分裂；内射模 $I$ 对偶地使每个以 $I$ 为子模的短正合列分裂。左正合或右正合函子作用于短正合列时，哪一端的正合性丢失，决定了相应导出函子出现的位置。因而短正合列既是扩张对象，也是检测函子正合性的最小试纸。

参考资料

Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，§§1.3–1.4。
Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009，Ch. 1, §§1.2–1.3。
Peter J. Hilton and Urs Stammbach, A Course in Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 1997，Ch. II, §§2–3。

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