形式陈述

设 $M,N$$M,N$ 为左 $R$$R$-模。映射 $f:M\to N$$f:M\to N$ 称 $R$$R$-模同态，若

$$ f(x+y)=f(x)+f(y),\qquad f(rx)=r f(x) $$$$f(x+y)=f(x)+f(y),f(rx)=rf(x)$$

对所有 $x,y,r$$x,y,r$ 成立；等价地保持所有有限 $R$$R$-线性组合。核 $\ker f$$\ker f$ 是 $M$$M$ 的子模，像 $\operatorname{im}f$$\mathrm{im}f$ 是 $N$$N$ 的子模。第一同构定理给出

$$ M/\ker f\cong\operatorname{im}f. $$$$M/\ker f\cong \mathrm{im}f.$$

模同态的复合仍为模同态；双射模同态的逆自动为模同态，称模同构。全体同态记作 $\operatorname{Hom}_R(M,N)$${\mathrm{Hom}}_R(M,N)$，在交换环或适当双模条件下还带自然模结构。

直觉

模同态是与标量运算兼容的线性映射；核记录被压成零的方向，像记录真正到达的部分，商掉核后恰好没有信息损失。

例子与边界

群同态 $\mathbb Z\to\mathbb Z/n\mathbb Z$$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$、$k\mapsto[k]$$k\mapsto [k]$ 是 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$-模同态，核为 $n\mathbb Z$$n\mathbb{Z}$。矩阵给出自由模间同态。乘 $2$$2$ 映射 $\mathbb Z\to\mathbb Z$$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ 是单射非满射；模 $2$$2$ 投影是满射非单射。仅为加法群同态不一定 $R$$R$-线性：复向量空间上的复共轭保持加法并且是 $\mathbb R$$\mathbb{R}$-线性的，却不是 $\mathbb C$$\mathbb{C}$-线性的。非交换环上需保持左/右作用方向；$\operatorname{Hom}_R(M,N)$${\mathrm{Hom}}_R(M,N)$ 未必自然成为左 $R$$R$-模。第一同构定理的右侧是像而非整个陪域，除非 $f$$f$ 满射。

推论与应用

模同态构成模范畴的态射，核、像和余核由它们定义；矩阵分类、表示同态和同调函子都建立在这一线性兼容性上。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 10, module homomorphisms and isomorphism theorems。
• Serge Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer, 2002，Part III, homomorphisms, kernels, and images。