模同态

模同态是与标量运算兼容的线性映射；核记录被压成零的方向，像记录真正到达的部分，商掉核后恰好没有信息损失。模同态同时保持加法和环的标量作用，所以它是一般环上线性映射的直接推广。它的核与像仍是子模，因而同态的结构分析与线性代数相似；但缺少除法后，子模未必有补空间，矩阵也未必能化到域上的标准形。

群同态$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$、$k\mapsto [k]$ 是 $\mathbb{Z}$-模同态，核为 $n\mathbb{Z}$。矩阵给出自由模间同态。乘 $2$ 映射 $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ 是单射非满射；模 $2$ 投影是满射非单射。仅为加法群同态不一定$R$-线性：复向量空间公理库向量空间Vector space标量域作用下满足线性公理的加法阿贝尔群。上的复共轭保持加法并且是 $\mathbb{R}$-线性的，却不是 $\mathbb{C}$-线性的。非交换环上需保持左/右作用方向；${\mathrm{Hom}}_R(M,N)$ 未必自然成为左 $R$-模。第一同构定理的右侧是像而非整个陪域，除非 $f$ 满射。定义

它是 $\mathbb{Z}$-模同态，并且满射，因为 $2(-1)+3(1)=1$。其核为

故第一同构定理给出 ${\mathbb{Z}}^2/⟨(3,-2)⟩\cong \mathbb{Z}$。这个计算也具体展示了第一同构定理右侧是映射的像；本例因 $\phi$ 满射，像才恰好等于整个陪域 $\mathbb{Z}$。

模同态构成模范畴的态射；核与像公理库线性映射的核与像Kernel and image · Null space and range分别记录被线性映射压到零的方向与实际能够到达的向量集合。分别记录输入损失和实际到达部分，余核公理库余核Cokernel · 余核对象将目标模中已被同态像命中的部分商去，留下映射未覆盖方向的泛性质对象。则把陪域中的像商去，记录未命中的方向。三者共同组织正合列公理库正合列Exact sequence相邻同态满足前一映像等于后一核的一列模与同态。，矩阵分类、表示同态和同调函子都建立在这一线性兼容性上。第一同构定理给出 $M/\ker f\cong \mathrm{im}f$；自由模选基后，同态可由环上矩阵表示。