模同态

模同态要求两种计算次序一致：先在输入中做线性组合再映射，与先逐个映射再做同样的线性组合，结果相同。它因此把向量空间的线性映射推广到了环上的模。

若 $f(x)=f(y)$，则 $f(x-y)=0$，所以映射无法区分的两个输入恰好相差一个核元素。将这些输入归为同一商类后，每个类就与一个像元素唯一对应；这正是第一同构定理中 $M/\ker f\cong \mathrm{im}f$ 的含义。

乘 $2$ 映射 $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ 是单射的 $\mathbb{Z}$-模同态，像为 $2\mathbb{Z}$，所以不是满射。模 $2$ 投影 $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 则满射，核为 $2\mathbb{Z}$，所以不是单射。两者分别展示了核与像控制的不同性质。

标量环会改变一个映射是否线性。复共轭 $f(z)=\overline{z}$ 保持加法和实数倍，因此是 $\mathbb{R}$-线性的；作为复向量空间理路向量空间Vector space标量域作用下满足线性公理的加法阿贝尔群。之间的映射，它却不保持复数倍，因为 $f(i\cdot 1)=-i$，而 $if(1)=i$。

再定义

它是 $\mathbb{Z}$-模同态，并且满射，因为 $2(-1)+3(1)=1$。其核为

这是因为 $2a=-3b$ 迫使 $3\mid a$，写成 $a=3t$ 后就有 $b=-2t$。因此第一同构定理给出 ${\mathbb{Z}}^2/⟨(3,-2)⟩\cong \mathbb{Z}$：把核中的整个整数方向压成零后，留下一个自由整数坐标。

模同态构成模范畴的态射。将一个模同态的核与像，以及余核理路余核Cokernel · 余核对象将目标模中已被同态像命中的部分商去，留下映射未覆盖方向的泛性质对象。 $N/\mathrm{im}f$ 放在一起，可得到正合列理路正合列Exact sequence相邻同态满足前一映像等于后一核的一列模与同态。

在交换环上，有限自由模选定基后，同态可用矩阵表示。矩阵的每一列记录一个基向量的像；同态复合对应矩阵乘法，因而生成元与关系的计算可以转化为环上的矩阵运算。